מרחב וקטורי, האופרטור ספאן, צירופים לינאריים, סכום מרחבים וסכום ישר

מרחב וקטורי

הגדרה: מרחב וקטורי יהי $\mathbb {F}$ שדה, קבוצה $V$, שעליה מוגדרות פעולת חיבור בין איבריה, ופעולת הכפל בסקלר מהשדה $\mathbb {F}$ תיקרא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$, אם מתקיימות כל התכונות הבאות: תכונות החיבור: סגירות, לכל $u,v\in V$, מתקיים גם $u+v\in V$. אסוציאטיביות, לכל $u,v,w\in V$, מתקיים $(u+v)+w=u+(v+w)$ חילופיות, לכל לכל $u,v\in V$, מתקיים $u+v=v+u$. קיום האיבר הניטרלי ביחס לחיבור, קיים איבר שנסמנו $0\in V$, אשר מקיים לכל $v\in V$ את השוויון $v+0=0+v=v$. קיום איבר נגדי, לכל $v\in V$ קיים איבר נגדי, אשר נסמנו $-v\in V$, והוא מקיים את השוויון $v+(-v)=(-v)+v=0$. תכונות הכפל בסקלר: סגירות, לכל $v\in V$ ולכל $\lambda \in \mathbb {F}$, מתקיים גם $\lambda \cdot v\in V$. דיסטריבוטיביות הכפל בסקלר מעל החיבור ב$V$, לכל $u,v\in V$ ולכל $\lambda \in \mathbb {F}$, מתקיים השוויון $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$. דיסטריבוטיביות הכפל בסקלר מעל החיבור ב$\mathbb {F}$, לכל $u\in V$ ולכל $\lambda ,\mu \in \mathbb {F}$, מתקיים השוויון $(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$. אסוציאטיביות, לכל $u\in V$ ולכל $\lambda ,\mu \in \mathbb {F}$, מתקיים השוויון $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)$. כפל באיבר היחידה של $\mathbb {F}$, אם $1$ הוא איבר היחידה של $\mathbb {F}$, אז לכל $v\in V$, מתקיים השוויון $1\cdot v=v$.

טענה: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, אז מתקיימות התכונות הבאות: אם $v\in V$ מקיים $v=v+v$ אז בהכרח $v=0$. לכל $\lambda \in \mathbb {F}$ מתקיים $\lambda 0=0$ לכל $v\in V$ מתקיים $v0=0$. $\lambda v=0$ אם ורק אם $\lambda =0$ או $v=0$. לכל $v\in V$ מתקיים $(-1)v=-v$. תכונות אלו נובעות ישירות מתכונות המרחב הלינארי, ולכן נשמיט את הוכחתן.

תת-מרחב וקטור

הגדרה: תת-מרחב וקטורי יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, אם $W\subseteq V$ קבוצה, היא תיקרא תת-מרחב של $V$ אם היא בעצמה מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {F}$.

טענה: בוחן לתת מרחב יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ותהי קבוצה $W\subseteq V$, אזי $W$ היא תת-מרחב וקטורי, אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: מתקיים $W\not =\phi$ לכל $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {F}$, ולכל $v_{1},v_{2}\in V$, מתקיים גם $\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}\in V$.

צירוף לינארי

הגדרה: צירוף לינארי יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ויהיו $v_{1},v_{2},v_{3}...v_{n}$ וקטורים במרחב $V$, אזי סכום מהצורה $\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ נקרא צירוף לינארי של הוקטורים $v_{1},v_{2},v_{3}...v_{n}$ עם המקדמים $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}...\lambda _{n}$ כאשר המקדמים הם סקלרים מהשדה $\mathbb {F}$.

תת-מרחב וקטורי הנפרש על ידי קבוצה

הגדרה: האופרטור $\operatorname {Span}$ תהי $K$ תת קבוצה של מרחב וקטורי, נסמן ב$\operatorname {Sp(K)}$ את אוסף כל הצירופים הלינאריים של וקטורים מתוך הקבוצה $K$, כלומר הקבוצה $\operatorname {Sp(K)}$ היא קבוצת האיברים מהצורה $\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ כאשר $v_{1},v_{2},v_{3}...v_{n}$ וקטורים במרחב $V$, ו$\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}...\lambda _{n}$ הם סקלרים מהשדה $\mathbb {F}$ הערה: נסמן $Sp$ כקיצור של האופרטור $Span$.

משפט: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ותהי קבוצה לא ריקה $K\subseteq V$, אזי $\operatorname {Sp(K)}$ היא תת-מרחב וקטורי הוכחה: נצטרך להוכיח שהיא מקיימת את תנאי הבוחן לתת מרחב. הקבוצה לא ריקה, לפי ההנחה שלנו. הקבוצה היא קבוצת כל הצירופים הלינאריים של וקטורים מהמרחב עם סקלרים מהשדה, ולכן כל סכום מהצורה $\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}$ גם הוא שייך ל$Sp(K)$. ולכן, הקבוצה הנפרשת על ידי הקבוצה $K$ היא תת-מרחב וקטורי.

תכונות של האופרטור ספאן

משפט: תכונות של האופרטור ספאן יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ותהיו $K,T\subseteq V$, אזי מתקיימות הטענות הבאות: אם $K\subseteq T$, אזי גם $Sp(K)\subseteq \operatorname {Sp(T)}$ אם $K\subseteq \operatorname {Sp(T)}$, אזי גם $\operatorname {Sp(K)} \subseteq \operatorname {Sp(T)}$ השוויון $\operatorname {Sp(K)} =\operatorname {Sp(T)}$ מתקיים אם ורק אם $K\subseteq \operatorname {Sp(T)}$ וגם $T\subseteq \operatorname {Sp(K)}$ $\operatorname {Sp(K)} \cup \operatorname {Sp(T)} \subseteq \operatorname {Sp(K\cup T)}$ $\operatorname {Sp(K\cap T)} \subseteq \operatorname {Sp(K)} \cap \operatorname {Sp(T)}$ הוכחה: הקבוצה $\operatorname {Sp(T)}$ היא כל הצירופים הלינאריים מתוך הקבוצה $T$, כיוון ש$K\subseteq T$, כל איבר ב$K$ שייך גם ל$T$, ולכן אם ניצור צירוף לינארי כללי $\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ ב$\operatorname {Sp(K)}$, הוא בהכרח שייך גם ל$\operatorname {Sp(T)}$ כצירוף לינארי של איברי $T$. כמו מקודם, כיוון ש$K\subseteq \operatorname {Sp(T)}$, כל איבר ב$K$ הוא גם איבר ב$\operatorname {Sp(T)}$, ולכן אם ניצור צירוף לינארי כללי $\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ ב$K$, הוא בהכרח יהיה שייך ל$\operatorname {Sp(T)}$ כצירוף לינארי של איברי $\operatorname {Sp(T)}$. נוכיח את הצד הראשון, אם מתקיים השוויון $\operatorname {Sp(K)} =\operatorname {Sp(T)}$, אזי מתקיים $\operatorname {Sp(K)} \subseteq \operatorname {Sp(T)}$, וגם $\operatorname {Sp(T)} \subseteq \operatorname {Sp(K)}$, כיוון שמתקיים $\operatorname {Sp(K)} \subseteq \operatorname {Sp(T)}$, בהכרח $K\subseteq \operatorname {Sp(T)}$ כי $K$ היא בעצמה צירוף לינארי של איברי $K$, וגם יתקיים $T\subseteq \operatorname {Sp(K)}$ כיוון שמתקיים $\operatorname {Sp(T)} \subseteq \operatorname {Sp(K)}$ ו$T$ עצמה היא צירוף לינארי של איברי $T$, ובכך סיימנו עם הכיוון הראשון. כעת, נניח שמתקיים $K\subseteq \operatorname {Sp(T)}$, אזי מתקיים לפי המשפט השני שהוכחנו, גם $\operatorname {Sp(K)} \subseteq \operatorname {Sp(T)}$, ואם נניח שמתקיים $T\subseteq \operatorname {Sp(K)}$, אזי גם מתקיים $\operatorname {Sp(T)} \subseteq \operatorname {Sp(K)}$ גם מהמשפט השני שהוכחנו, ולכן מתקיים $\operatorname {Sp(T)} \subseteq \operatorname {Sp(K)} \wedge \operatorname {Sp(K)} \subseteq \operatorname {Sp(T)} \implies \operatorname {Sp(T)} =\operatorname {Sp(K)}$ כנדרש. נניח שקיים וקטור $w\in \operatorname {Sp(K)} \cup \operatorname {Sp(T)}$, כלומר הוא איחוד של צירוף לינארי אחד של איברי $K$, וצירוף לינארי אחד של איברי $T$, מהצורה $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i},\sum _{l=1}^{n}\lambda _{l}v_{l}$, אבל הוא כמובן שייך לקבוצה $\operatorname {Sp(K\cup T)}$ כיוון ש $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\in K$ ו$\sum _{l=1}^{n}\lambda _{l}v_{l}\in T$, ולכן $\operatorname {Sp(K)} \cup \operatorname {Sp(T)} \subseteq \operatorname {Sp(K\cup T)}$ נניח שקיים וקטור $w\in \operatorname {Sp(K\cap T)}$, כלומר הוא צירוף לינארי של וקטור ששייך גם ל$K$ וגם ל$T$, כלומר הוא שייך גם ל$\operatorname {Sp(K)}$ וגם ל$\operatorname {Sp(T)}$, ולכן הוא שייך ל$\operatorname {Sp(K)} \cap \operatorname {Sp(T)}$ כנדרש.

סכום תתי מרחבים

הגדרה: סכום תתי מרחבים יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ויהיו $K,T\subseteq V$ תתי-מרחבים של $V$, אזי הסכום $K+T$ מוגדר כ$(k+t|k\in K,t\in T)$.

משפט: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ויהיו $K,T\subseteq V$ תתי-מרחבים של $V$, כאשר $K=Sp(v)$, ו$T=Sp(u)$ אזי מתקיים $K+T=Sp(v)+Sp(u)=Sp(v\cup u)$ הוכחה: נוכיח הכלה דו כיוונית בין $Sp(v)+Sp(u)$ לבין $Sp(v\cup u)$. יהי $s$ וקטור ב$Sp(v)+Sp(u)$, אזי אפשר לבטא אותו כסכום של צירוף לינארי מאיברי $v$, וצירוף לינארי של איברי $u$, כלומר $s=(\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n})+(\mu _{1}u_{1}+\mu _{2}u_{2}+\mu _{3}u_{3}+....\mu _{n}u_{n})$, אבל הסכום הזה גם שייך לקבוצה $Sp(v\cup u)$, כיוון ש$v_{1},v_{2},v_{3}....v_{n}\in v$, וגם $u_{1},u_{2},u_{3}...u_{n}\in u$, לכן $u_{1},u_{2},u_{3}...u_{n},v_{1},v_{2},v_{3}...v_{n}\in u\cup v$, ולכן גם $(\mu _{1}u_{1}+\mu _{2}u_{2}+\mu _{3}u_{3}+....\mu _{n}u_{n})+(\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n})\in Sp(v\cup u)$, כצירוף לינארי של איברי הקבוצה $u\cup v$, ומתקיים $Sp(u)+Sp(v)\subseteq Sp(u\cup v)$. בכיוון השני, נניח שקיים וקטור בקבוצה $Sp(v\cup u)$, אז גם הוא מהצורה $(\mu _{1}u_{1}+\mu _{2}u_{2}+\mu _{3}u_{3}+....\mu _{n}u_{n})+(\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n})$, כאשר $u_{1},u_{2},u_{3}...u_{n}\in u$ ו$v_{1},v_{2},v_{3}....v_{n}\in v$, ולכן גם $(\mu _{1}u_{1}+\mu _{2}u_{2}+\mu _{3}u_{3}+....\mu _{n}u_{n})\in Sp(u)$ וגם $(\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n})\in Sp(v)$, ולכן $(\mu _{1}u_{1}+\mu _{2}u_{2}+\mu _{3}u_{3}+....\mu _{n}u_{n})+(\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\lambda _{3}v_{3}+....\lambda _{n}v_{n})\in Sp(u)+Sp(v)$, כסכום של וקטור מהקבוצה $Sp(u)$ ווקטור מהקבוצה $Sp(v)$, ולכן מתקיים $Sp(u\cup v)\subseteq Sp(u)+Sp(v)$. הראינו שמתקיים $Sp(u)+Sp(v)\subseteq Sp(u\cup v)$ וגם $Sp(u\cup v)\subseteq Sp(u)+Sp(v)$, ולכן $Sp(u\cup v)=Sp(u)+Sp(v)$.

סכום ישר של תתי-מרחבים

הגדרה: סכום ישר של תתי-מרחבים יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ויהיו $K,T\subseteq V$ תתי-מרחבים של $V$, אזי נאמר כי התת-מרחב $W$ הוא סכום ישר של $K,T$, ונסמן $W=K\oplus T$,אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: $W=K+T$ לכל וקטור $v\in W$ קיימת הצגה יחידה כסכום של וקטור ב$K$ ווקטור ב$T$.

משפט: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ויהיו $K,T\subseteq V$ תתי-מרחבים של $V$, אזי התת-מרחב $W$ הוא סכום ישר של $K,T$ אם ורק אם: $W=K+T$ $K\cap T={\mathbf {0}}$ כלומר אם ורק אם $W$ הוא הסכום של $K$ ו$T$, וגם האיבר היחיד בחיתוך של $K$ ו$T$ הוא וקטור האפס. הוכחה: אם $W$ הוא סכום ישר של $K,T$, אז לפי ההגדרה מתקיים $W=K+T$, וגם אפשר להציג כל וקטור בו כסכום יחיד של וקטור מ$K$ ווקטור ב$T$, לכן החיתוך שלהם שווה וקטור האפס כיוון שאם נניח שקיים עוד איבר בחיתוך, נוכל להראות וקטור מסויים ב$W$ בשתי צורות שונות של סכום. בכיוון השני, אם $W=K+T$, אז התנאי הראשון כבר מתקיים, ואם $K\cap T={\mathbf {0}}$, אז יש הצגה יחידה לכל וקטור כי אין איברים משותפים לשני תתי-המרחבים.