משוואות דיפרנציאליות חלקיות/בעיה מוצגת היטב

מהי בעיה?

"בעיה" היא צירוף של משוואה עם תנאי שפה ו/או התחלה.

בניגוד למד"ר, שם ניתן למצוא לרוב פתרון כללי בלי קשר לתנאי ההתחלה, במד"ח תנאי השפה/התחלה משפיעים מאוד על הפתרון.

תנאי התחלה

התקדמות של גל במיתר (מימד הזמן לא מופיע באיור)

תנאי התחלה הוא תנאי שניתן בזמן כלשהו (לרוב ב-t=0) עבור תחום מרחבי כלשהו. לדוגמה, עבור בעיה של תנודות מיתר נצטרך לספק את מצב המיתר בזמן t=0, כלומר תנאי ההתחלה יוכלו להראות כך:

$\ u(t=0,x)=f(x)$

$\ u_{t}(t=0,x)=g(x)$

כאשר u היא גובה המיתר מעל ציר x בזמן t כלשהו, ו-u_t היא מהירות המיתר בזמן כלשהו.

תנאי שפה

תנאי שפה הוא תנאי שניתן בגבולו של התחום שבו פותרים את המשוואה. לדוגמה, עבור תנודות של מיתר, תנאי שפה יכול להיות ההפרעה (נפנוף של היד) שמכניסים בקצוות המיתר:

$\ u(t,x=0)=h(t)$

$\ u(t,x=L)=0$

תנאי השפה לעיל מתארים מצב שבו מיתר באורך L מנודנד לפי הפונקציה h בקוארדינטה 0, ובצד השני (x=L) הוא מחובר לקיר (לא זז).

קיימים שלושה סוגים של תנאי-שפה:

1. דיריכלה (Dirichlet): מספק את ערך הפונקציה על שפת התחום.
2. ניומן (Neumann): מספק את נגזרתה הנורמלית של הפונקציה על שפת התחום. המשמעות הפיזיקלית של תנאי זה היא לרוב מהירות.
3. רובין (Robin): מספק צירוף לינארי של הפונקציה ושל נגזרתה הנורמלית על שפת התחום. המשמעות הפיזיקלית של תנאי זה היא שטף.

בעיה מוצגת היטב

בעיה נחשבת למוצגת היטב אם מתקיימים 3 תנאים:

• קיום: לבעיה קיים פתרון.
• יחידות: לבעיה קיים פתרון יחיד.
• יציבות: עבור שינוי "קטן" בתנאי השפה/התחלה, מתקבל שינוי "קטן" בפתרון.