משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מבוא

משוואה דיפרנציאלית חלקית (להלן: מד"ח) היא משוואה דיפרנציאלית שבה הפונקציה הנעלמת היא פונקציה מרובת משתנים, והמשואה תלויה בנגזרותיה לפי המשתנים השונים. ניתן להסתכל על מד"ח כעל הרחבה של מד"ר (משוואה דיפרנציאלית רגילה) לפונקציות מרובות משתנים.

בנגזרת רגילה, הדיפרנציאל נכתב עפ האות האנגלית d. בנגזרת חלקית, הדיפרנציאל נכתב עם הסימן $\ \partial$.

לדוגמה, אם הפונקציה u תלויה בשני המשתנים x₁, x₂, כלומר $\ u=u(x_{1},x_{2})$ אז המשוואה $\ {\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}=3$ היא מד"ח.

נהוג לסמן נגזרת חלקית כמו $\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}$ על-ידי הסימון המקוצר $\ u_{xy}''$ או רק $\ u_{xy}$.

הצורה הכללית של מד"ח כלשהי עבור פונקציה u בעלת n משתנים היא:

$\ F(x_{1},x_{2},...,x_{n},u,u_{x_{1}},...,u_{x_{n}},...,u_{x_{1}...x_{n}},...)=0$

המד"ח הפופולריות במדע הן עבור פונקציות של 2-4 משתנים (זמן ו-3 כיוונים מרחביים).

סדר של משוואה

הסדר של מד"ח נתונה נקבע ע"פ הנגזרת הכי גבוהה (במשתנה כלשהו). דוגמאות:

• סדר 1: $\ u^{2}u_{x}+u_{y}=tan(x^{2}+y^{2})$
• סדר 2: $\ u_{t}+u_{xx}=0$
• סדר 5: $\ u_{xxxxx}+u_{y}=0$

כמעט תמיד סדר המשואה יכתיב את שיטת הפתרון.