הצורה הכללית של מד"ח לינארית מסדר שני בשני משתנים היא:
a
(
x
,
y
)
u
x
x
+
2
b
(
x
,
y
)
u
x
y
+
c
(
x
,
y
)
u
y
y
+
g
(
x
,
y
,
u
,
u
x
,
u
y
)
=
0
{\displaystyle \ a(x,y)u_{xx}+2b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}+g(x,y,u,u_{x},u_{y})=0}
כאשר הפונקציה הנעלמת היא u.
בהמשך נראה כי סימנו של הביטוי
b
2
−
a
c
{\displaystyle \ b^{2}-ac}
משוואה היפרבולית:
b
2
−
a
c
>
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac>0}
משוואה פרבולית:
b
2
−
a
c
=
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac=0}
משוואה אליפטית:
b
2
−
a
c
<
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac<0}
במילים אחרות, סוג המשוואה נקבע אך ורק ע"פ מקדמי הנגזרות הגבוהות.
"הצגה קנונית" היא הצגה נוחה (פשוטה) יותר של המד״ח, שתתאפשר אם נבצע החלפת משתנים מתאימה. תכונת־מפתח של משוואה מסוג זה (לינארית מסדר 2 בשני משתנים) היא שסוגה אינו משתנה במעבר ממערכת קוארדינטות אחת לשניה, ושתמיד ניתן למצוא החלפת משתנים כזו שתביא את המשוואה לצורה הקנונית. באופן כללי, ניתן לסמן החלפת משתנים באמצעות:
[
ξ
,
η
]
=
[
ξ
(
x
,
y
)
,
η
(
x
,
y
)
]
{\displaystyle \ [\xi ,\eta ]=[\xi (x,y),\eta (x,y)]}
כך שבעצם ניתן לכתוב את הפונקציה u כתלות במשתנים החדשים:
u
(
x
,
y
)
=
u
[
ξ
(
x
,
y
)
,
η
(
x
,
y
)
]
{\displaystyle \ u(x,y)=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}
כעת נרצה לשכתב את הביטוי הכללי של המד״ח על מנת שתהיה כתובה במונחים של ξ ו-η. לצורך כך דרושות לנו נגזרות של x,y,ξ,η שאותן נקבל בעזרת כלל השרשרת:
{
u
x
=
u
ξ
ξ
x
+
u
η
η
x
u
y
=
u
ξ
ξ
y
+
u
η
η
y
u
x
x
=
u
ξ
ξ
ξ
x
2
+
2
u
ξ
η
ξ
x
η
x
+
u
η
η
η
x
2
+
u
ξ
ξ
x
x
+
u
η
η
x
x
u
y
y
=
u
ξ
ξ
ξ
y
2
+
2
u
ξ
η
ξ
y
η
y
+
u
η
η
η
y
2
+
u
ξ
ξ
y
y
+
u
η
η
y
y
u
x
y
=
u
ξ
ξ
ξ
x
ξ
y
+
u
ξ
η
(
ξ
x
η
y
+
ξ
y
η
x
)
+
u
η
η
η
x
η
y
+
u
ξ
ξ
x
y
+
u
η
η
x
y
{\displaystyle \ {\begin{cases}u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}\\u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}\\u_{xx}=u_{\xi \xi }\xi _{x}^{2}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\eta \eta }\eta _{x}^{2}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx}\\u_{yy}=u_{\xi \xi }\xi _{y}^{2}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{y}^{2}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy}\\u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}\end{cases}}}
כעת נציב את הביטויים שקבלנו לתוך המד״ח:
a
(
x
,
y
)
[
u
ξ
ξ
ξ
x
2
+
2
u
ξ
η
ξ
x
η
x
+
u
η
η
η
x
2
+
u
ξ
ξ
x
x
+
u
η
η
x
x
]
+
2
b
(
x
,
y
)
[
u
ξ
ξ
ξ
x
ξ
y
+
u
ξ
η
(
ξ
x
η
y
+
ξ
y
η
x
)
+
u
η
η
η
x
η
y
+
u
ξ
ξ
x
y
+
u
η
η
x
y
]
+
c
(
x
,
y
)
[
u
ξ
ξ
ξ
y
2
+
2
u
ξ
η
ξ
y
η
y
+
u
η
η
η
y
2
+
u
ξ
ξ
y
y
+
u
η
η
y
y
]
+
g
=
0
{\displaystyle \ {\begin{array}{ll}a(x,y)\left[u_{\xi \xi }\xi _{x}^{2}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\eta \eta }\eta _{x}^{2}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx}\right]&+\\2b(x,y)\left[u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}\right]&+\\c(x,y)\left[u_{\xi \xi }\xi _{y}^{2}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{y}^{2}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy}\right]&+g=0\end{array}}}
מכיוון שאנו מעוניינים להגיע לביטוי מהצורה
a
~
u
ξ
ξ
+
2
b
~
u
ξ
η
+
c
~
u
η
η
+
g
~
=
0
{\displaystyle \ {\tilde {a}}u_{\xi \xi }+2{\tilde {b}}u_{\xi \eta }+{\tilde {c}}u_{\eta \eta }+{\tilde {g}}=0}
נצטרך לקבץ את כל האיברים אשר כופלים את הנגזרות של u מסדר שני ב-ξ ו-η:
{
a
~
=
a
ξ
x
2
+
2
b
ξ
x
ξ
y
+
c
ξ
y
2
b
~
=
a
ξ
x
η
x
+
b
(
ξ
x
η
y
+
ξ
y
η
x
)
+
c
ξ
y
η
y
c
~
=
a
η
x
2
+
2
b
η
x
η
y
+
c
η
y
2
g
~
=
u
ξ
(
a
ξ
x
x
+
2
b
ξ
x
y
+
c
ξ
y
y
+
d
ξ
x
+
e
ξ
y
)
+
+
u
η
(
a
η
x
x
+
2
b
η
x
y
+
c
η
y
y
+
d
η
x
+
e
η
y
)
+
+
g
{\displaystyle \ \left\{{\begin{array}{lcl}{\tilde {a}}&=&a\xi _{x}^{2}+2b\xi _{x}\xi _{y}+c\xi _{y}^{2}\\{\tilde {b}}&=&a\xi _{x}\eta _{x}+b(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+c\xi _{y}\eta _{y}\\{\tilde {c}}&=&a\eta _{x}^{2}+2b\eta _{x}\eta _{y}+c\eta _{y}^{2}\\{\tilde {g}}&=&u_{\xi }\left(a\xi _{xx}+2b\xi _{xy}+c\xi _{yy}+d\xi _{x}+e\xi _{y}\right)+\\&+&u_{\eta }\left(a\eta _{xx}+2b\eta _{xy}+c\eta _{yy}+d\eta _{x}+e\eta _{y}\right)+\\&+&g\end{array}}\right.}
אם כן, קבלנו את סט המשוואות המלא שבעזרתו ניתן לשכתב את המד״ח עבור כל החלפת משתנים שנרצה.
למעשה, לא נוכל להשתמש בכל החלפת משתנים שנרצה, אלא רק בכאלו שהן הפיכות. כזכור מחדו״א, על מנת שטרנספורמציה תהיה הפיכה, היעקוביאן שלה מוכרח להיות שונה מאפס:
J
=
∂
(
ξ
,
η
)
∂
(
x
,
y
)
=
|
ξ
x
ξ
y
η
x
η
y
|
=
ξ
x
η
y
−
ξ
y
η
x
≠
0
{\displaystyle \ J={\frac {\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}}={\begin{vmatrix}\xi _{x}&\xi _{y}\\\eta _{x}&\eta _{y}\end{vmatrix}}=\xi _{x}\eta _{y}-\xi _{y}\eta _{x}\neq 0}
כך שהטרנספורמציה לעיל קיימת בכל תחום שבו
J
≠
0
{\displaystyle \ J\neq 0}
ניתן להראות (אם כי לא נתעכב על כך כעת) כי
b
~
2
−
a
~
c
~
=
(
b
2
−
a
c
)
J
2
{\displaystyle \ {\tilde {b}}^{2}-{\tilde {a}}{\tilde {c}}=(b^{2}-ac)J^{2}}
ובפרט, שהסימן של
b
2
−
a
c
{\displaystyle b^{2}-ac}
נתפנה כעת לעסוק בתכונות האופייניות לכל אחת מסוגי המשוואות.
כזכור, המניע הראשוני היה לפשט את צורת המד״ח.
נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין תקיים
b
~
2
−
a
~
c
~
>
0
{\displaystyle {\tilde {b}}^{2}-{\tilde {a}}{\tilde {c}}>0}
{
a
~
=
c
~
=
0
,
b
~
=
1
2
u
ξ
η
+
g
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}{\tilde {a}}={\tilde {c}}=0,\ {\tilde {b}}={1 \over 2}\\u_{\xi \eta }+g=0\end{cases}}}
נפתור את המשוואה
a
~
=
0
{\displaystyle {\tilde {a}}=0}
c
~
=
0
{\displaystyle {\tilde {c}}=0}
a
ξ
x
2
+
2
b
ξ
x
ξ
y
+
c
ξ
y
2
=
0
{\displaystyle \ a\xi _{x}^{2}+2b\xi _{x}\xi _{y}+c\xi _{y}^{2}=0}
נחלק ב-ξy 2 על מנת לקבל משוואה בנעלם אחד:
a
(
ξ
x
ξ
y
)
2
+
2
b
ξ
x
ξ
y
+
c
=
0
{\displaystyle \ a\left({\frac {\xi _{x}}{\xi _{y}}}\right)^{2}+2b{\frac {\xi _{x}}{\xi _{y}}}+c=0}
a,b,c יכולות להיות פונקציות של x,y!
הביטוי האחרון הוא משוואה ריבועית ב-
ξ
x
ξ
y
{\displaystyle {\tfrac {\xi _{x}}{\xi _{y}}}}
ξ
x
ξ
y
=
−
b
±
b
2
−
a
c
a
{\displaystyle \ {\frac {\xi _{x}}{\xi _{y}}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}}
אבל גם ניתן לכתוב:
ξ
x
ξ
y
=
∂
ξ
∂
x
∂
ξ
∂
y
=
∂
y
∂
x
{\displaystyle \ {\frac {\xi _{x}}{\xi _{y}}}={\frac {\frac {\partial \xi }{\partial x}}{\frac {\partial \xi }{\partial y}}}={\frac {\partial y}{\partial x}}}
וכך מתקבלות שתי מד"ר המקשרות בין y ל-x:
(
d
y
d
x
)
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
a
c
a
{\displaystyle \ \left({\frac {dy}{dx}}\right)_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}}
הפתרונות
y
1
(
x
)
,
y
2
(
x
)
{\displaystyle y_{1}(x),y_{2}(x)}
באופן כללי, ניתן לכתוב את הפתרון לעיל בצורה סתומה:
{
ψ
1
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
.
=
ξ
(
x
,
y
)
ψ
2
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
.
=
η
(
x
,
y
)
{\displaystyle \ {\begin{cases}\psi _{1}(x,y)=\mathrm {const.} =\xi (x,y)\\\psi _{2}(x,y)=\mathrm {const.} =\eta (x,y)\end{cases}}}
עריכה
משוואת הגלים היא (כאן t הוא "בתפקיד" x, ו-x הוא "בתפקיד" y):
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
0
{\displaystyle \ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0}
נשתמש בקשר שקבלנו לעיל עבור הקווים האופייניים:
(
d
x
d
t
)
1
,
2
=
±
c
⇒
ψ
1
,
2
=
x
±
c
t
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \ \left({\frac {dx}{dt}}\right)_{1,2}=\pm c\quad \Rightarrow \quad \psi _{1,2}=x\pm ct=\mathrm {const.} }
נבחר:
ξ
(
t
,
x
)
=
x
+
c
t
,
η
(
t
,
x
)
=
x
−
c
t
{\displaystyle \ \xi (t,x)=x+ct,\ \eta (t,x)=x-ct}
ונציב חזרה למשוואת הגלים:
{
u
t
t
=
c
2
(
u
ξ
ξ
−
2
u
ξ
η
+
u
η
η
)
u
x
x
=
u
ξ
ξ
+
2
u
ξ
η
+
u
η
η
⇒
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
−
4
c
2
u
ξ
η
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}u_{tt}=c^{2}(u_{\xi \xi }-2u_{\xi \eta }+u_{\eta \eta })\\u_{xx}=u_{\xi \xi }+2u_{\xi \eta }+u_{\eta \eta }\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad u_{tt}-c^{2}u_{xx}=-4c^{2}u_{\xi \eta }=0}
או בקיצור:
u
ξ
η
=
0
{\displaystyle \ u_{\xi \eta }=0}
היתרון בהחלפת המשתנים כעת ברור: ניתן לפתור מיידית באופן אנליטי ע"י אינטגרציה פעם לפי ξ ופעם לפי η:
u
(
ξ
,
η
)
=
F
(
ξ
)
+
G
(
η
)
{\displaystyle \ u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}
כאשר F,G הן פונקציות שרירותיות כלשהן. נחזור חזרה למשתנים המקוריים ונקבל:
u
=
F
(
x
+
c
t
)
+
G
(
x
−
c
t
)
{\displaystyle \ u=F(x+ct)+G(x-ct)}
לצורך המחשה, u יכולה להיות לדוגמה הפונקציה:
u
(
t
,
x
)
=
3
sin
(
1
x
+
c
t
)
+
π
exp
(
x
−
c
t
)
{\displaystyle \ u(t,x)=3\sin \left({1 \over x+ct}\right)+\pi \exp(x-ct)}
נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין שתקיים
b
~
2
−
a
~
c
~
=
0
{\displaystyle \ {\tilde {b}}^{2}-{\tilde {a}}{\tilde {c}}=0}
{
a
~
=
1
,
b
~
=
c
~
=
0
u
ξ
ξ
+
g
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}{\tilde {a}}=1,\ {\tilde {b}}={\tilde {c}}=0\\u_{\xi \xi }+g=0\end{cases}}}
דרך פתרון המשוואה
c
~
=
0
{\displaystyle \ {\tilde {c}}=0}
c
~
=
0
{\displaystyle \ {\tilde {c}}=0}
(
d
y
d
x
)
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
a
c
a
{\displaystyle \ \left({\frac {dy}{dx}}\right)_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}}
אך מכיוון ש-
b
2
−
a
c
=
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac=0}
d
y
d
x
=
−
b
a
{\displaystyle \ {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {b}{a}}}
ומתוך בחירת פונקציה שרירותית אחת נוספת כך שהיעקוביאן לא יתאפס (בדרך כלל בוחרים את הפונקציה הנוספת להיות פשוט x). אם כן, בבעיה פרבולית יש משפחה אחת בלבד של קווים אופיניים.
עריכה
משוואת החום היא (כאן t הוא "בתפקיד" x, ו-x הוא "בתפקיד" y):
u
t
−
k
u
x
x
=
0
{\displaystyle \ u_{t}-ku_{xx}=0}
נשתמש בקשר שקבלנו לעיל עבור הקווים האופייניים:
(
d
x
d
t
)
1
,
2
=
−
b
a
=
0
⇒
ψ
1
=
x
+
c
,
ψ
2
=
t
{\displaystyle \ \left({\frac {dx}{dt}}\right)_{1,2}=-{b \over a}=0\quad \Rightarrow \quad \psi _{1}=x+c,\ \psi _{2}=t}
כאשר ψ2 נבחר שרירותית מטעמי נוחות ופשטות. נבחר:
ξ
(
t
,
x
)
=
x
−
c
,
η
(
t
,
x
)
=
t
{\displaystyle \ \xi (t,x)=x-c,\ \eta (t,x)=t}
ונציב חזרה למשוואת החום:
{
u
t
=
u
η
u
x
x
=
u
ξ
ξ
⇒
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
u
η
−
k
u
ξ
ξ
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}u_{t}=u_{\eta }\\u_{xx}=u_{\xi \xi }\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad u_{tt}-c^{2}u_{xx}=u_{\eta }-ku_{\xi \xi }=0}
קיבלנו חזרה את אותה המשוואה, כלומר משוואת החום היא כבר בצורתה הקנונית, והחלפת המשתנים במקרה זה לא עוזרת לפתרון. יכולנו לחזות זאת מראש מכיוון שאם נתבונן בצורת המשוואה ניווכח כי היא מורכבת מנגזרת שניה של הפונקציה המעורבת ומאיבר נוסף אשר נבלע ב-g של ההצגה הקנונית.
נרצה להגיע לצורה הכי פשוטה שעדיין שתקיים
b
~
2
−
a
~
c
~
<
0
{\displaystyle \ {\tilde {b}}^{2}-{\tilde {a}}{\tilde {c}}<0}
{
a
~
=
c
~
=
1
,
b
~
=
0
u
ξ
ξ
+
u
η
η
+
g
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}{\tilde {a}}={\tilde {c}}=1,\ {\tilde {b}}=0\\u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+g=0\end{cases}}}
זוג המשוואות
a
~
=
c
~
=
1
{\displaystyle \ {\tilde {a}}={\tilde {c}}=1}
{
a
ξ
x
2
+
2
b
ξ
x
ξ
y
+
c
ξ
y
2
=
1
a
η
x
2
+
2
b
η
x
η
y
+
c
η
y
2
=
1
⇒
a
(
ξ
x
2
−
η
x
2
)
+
2
b
(
ξ
x
ξ
y
−
η
x
η
y
)
+
c
(
ξ
y
2
−
η
y
2
)
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}a\xi _{x}^{2}+2b\xi _{x}\xi _{y}+c\xi _{y}^{2}=1\\a\eta _{x}^{2}+2b\eta _{x}\eta _{y}+c\eta _{y}^{2}=1\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad a(\xi _{x}^{2}-\eta _{x}^{2})+2b(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+c(\xi _{y}^{2}-\eta _{y}^{2})=0}
ומהמשוואה
b
~
=
0
{\displaystyle {\tilde {b}}=0}
a
ξ
x
η
x
+
b
(
ξ
x
η
y
+
ξ
y
η
x
)
+
c
ξ
y
η
y
{\displaystyle \ a\xi _{x}\eta _{x}+b(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+c\xi _{y}\eta _{y}}
חיפשו ומצאו שאם נגדיר משתנה (מרוכב) חדש
ϕ
=
ξ
+
i
η
{\displaystyle \ \phi =\xi +i\eta }
a
ϕ
x
2
+
2
b
ϕ
x
ϕ
y
+
c
ϕ
y
2
=
0
{\displaystyle \ a\phi _{x}^{2}+2b\phi _{x}\phi _{y}+c\phi _{y}^{2}=0}
כוללת בתוכה את שתי המשוואות האחרונות: השוואת החלק הממשי של אגף שמאל לאפס יתן את המשוואה הראשונה, והשוואת החלק המדומה של אגף שמאל יתן את המשוואה השניה. שימו לב כי זו משוואה מאותה צורה כמו במשוואות ההיפרבולית והפרבולית.
נמשיך מכאן במתודולוגיה המוכרת:
a
(
ϕ
x
ϕ
y
)
2
+
2
b
ϕ
x
ϕ
y
+
c
=
0
{\displaystyle \ a\left({\frac {\phi _{x}}{\phi _{y}}}\right)^{2}+2b{\frac {\phi _{x}}{\phi _{y}}}+c=0}
פתרונות המשוואה הריבועית יתנו את הטרנספורמציה המבוקשת:
(
ϕ
x
ϕ
y
)
1
,
2
=
(
d
y
d
x
)
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
a
c
a
{\displaystyle \ \left({\frac {\phi _{x}}{\phi _{y}}}\right)_{1,2}=\left({\frac {dy}{dx}}\right)_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}}
מכיוון שבמשוואות אליפטיות
b
2
−
a
c
<
0
{\displaystyle b^{2}-ac<0}
(
d
y
d
x
)
1
,
2
=
−
b
±
i
a
c
−
b
2
a
{\displaystyle \ \left({\frac {dy}{dx}}\right)_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {ac-b^{2}}}}{a}}}
באופן כללי, ניתן לכתוב את הפתרון לעיל בצורה סתומה:
{
ψ
1
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
.
=
ξ
(
x
,
y
)
ψ
2
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
.
=
η
(
x
,
y
)
{\displaystyle \ {\begin{cases}\psi _{1}(x,y)=\mathrm {const.} =\xi (x,y)\\\psi _{2}(x,y)=\mathrm {const.} =\eta (x,y)\end{cases}}}
שימו לב כי ψ1 , ψ2 הם צמודים קומפלקסיים (בגלל ה-
±
i
{\displaystyle \pm i}
{
ξ
~
=
1
2
(
ξ
+
η
)
η
~
=
1
2
i
(
ξ
−
η
)
{\displaystyle \ {\begin{cases}{\tilde {\xi }}={1 \over 2}(\xi +\eta )\\{\tilde {\eta }}={1 \over 2i}(\xi -\eta )\end{cases}}}
עריכה
u
x
x
+
u
y
y
=
0
{\displaystyle \ u_{xx}+u_{yy}=0}
משוואה זו כבר נמצאת בצורתה הקנונית!
סוג
מקדמים מקוריים
מקדמים חדשים
צורה קנונית
דוגמה
היפרבולית
b
2
−
a
c
>
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac>0}
a
~
=
c
~
=
0
,
b
~
=
1
2
{\displaystyle \ {\tilde {a}}={\tilde {c}}=0,{\tilde {b}}={1 \over 2}}
v
ξ
η
+
g
=
0
{\displaystyle \ v_{\xi \eta }+g=0}
גלים חד-מימדית
פרבולית
b
2
−
a
c
=
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac=0}
a
~
=
1
,
b
~
=
c
~
=
0
{\displaystyle \ {\tilde {a}}=1,\ {\tilde {b}}={\tilde {c}}=0}
v
ξ
ξ
+
g
=
0
{\displaystyle \ v_{\xi \xi }+g=0}
חום חד-מימדית
אליפטית
b
2
−
a
c
<
0
{\displaystyle \ b^{2}-ac<0}
a
~
=
c
~
=
1
,
b
~
=
0
{\displaystyle \ {\tilde {a}}={\tilde {c}}=1,{\tilde {b}}=0}
v
ξ
ξ
+
v
η
η
+
g
=
0
{\displaystyle \ v_{\xi \xi }+v_{\eta \eta }+g=0}
לפלס דו-מימדית
![{\displaystyle \ [\xi ,\eta ]=[\xi (x,y),\eta (x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3d9904a67fea26a4891100ff9b1e179f4facb9)
![{\displaystyle \ u(x,y)=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d56e115d742683cf4b4dc18513bc30485c889f7)
![{\displaystyle \ {\begin{array}{ll}a(x,y)\left[u_{\xi \xi }\xi _{x}^{2}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\eta \eta }\eta _{x}^{2}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx}\right]&+\\2b(x,y)\left[u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}\right]&+\\c(x,y)\left[u_{\xi \xi }\xi _{y}^{2}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{y}^{2}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy}\right]&+g=0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b04fc93f8171eb4525ae530ac4ab6152fa491c0)
