משוואות דיפרנציאליות רגילות/סיכום משפטי קיום ויחידות

מד"ר לינארית מסדר ראשון

משפט: קיום ויחידות (מד"ר לינארית מסדר 1) יהיו $f(x),g(x)$ פונקציות רציפות בקטע הפתוח $(\alpha ,\beta )$ ותהי נקודה $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ עבורה $y(x_{0})=y_{0}$ . אזי למשוואה $y'(x)+f(x)y(x)=g(x)$ יש פתרון יחיד בקטע $(\alpha ,\beta )$ המקיים את תנאי ההתחלה הנתון ב-$x_{0}$ .

מד"ר כללית מסדר ראשון

משפט: קיום ויחידות (מד"ר כללית מסדר 1) תהי בעית תנאי התחלה מהצורה: ${\begin{cases}y'(x)=f(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{cases}}$ . אזי אם $f(x),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)$ רציפות במלבן ${\begin{cases}|x-x_{0}|\leq a\\|y-y_{0}|\leq b\end{cases}}$ (כאשר $a,b$ קבועים כלשהם) אזי קיים $h$ כך שבקטע $|x-x_{0}|\leq h$ קיים פתרון יחיד. בפרט: קיים פתרון אם $f(x,y)$ רציפה, והפתרון יחיד אם ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)$ רציפה.

מערכת מד"ר לינאריות

משפט: קיום ויחידות (מערכת מד"ר לינאריות) תהי מערכת מהצורה ${\underline {y}}'={\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {y}}+{\underline {b}}$ עם תנאי התחלה ${\underline {y}}(x_{0})={\underline {y}}_{0}$ , ויהיו $a_{i,j}(x),b_{i}(x)$ הרכיבים של ${\underline {\underline {A}}}(x),{\underline {b}}(x)$ בהתאמה. אזי אם $a_{i,j}(x),b_{i}(x)$ רציפות בקטע הפתוח $(\alpha ,\beta )$ כך שמתקיים $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ אז למערכת יש פתרון יחיד בקטע $(\alpha ,\beta )$ .

טורי חזקות למד"ר לינארית

משפט: קיום ויחידות (טורי חזקות למד"ר לינארית) תהי בעית תנאי התחלה מהצורה: ${\begin{cases}y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n}(x)y=b(x)\\y(x_{0})=y_{0},\ldots ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}\end{cases}}$ . אם המקדמים $a_{i}(x),b(x)$ הם אנליטיים בתחום $|x-x_{0}|<\rho$ כלשהו, אזי קיים פתרון אחד ויחיד בתחום זה.