משוואות דיפרנציאליות רגילות/קירובים אסימפטוטיים

קירוב אסימפטוטי הוא קירוב לפתרון בתחום מסויים. אם לדוגמה הפתרון האמיתי בתחום $0\leq x<\infty$ הוא y, אולי ניתן לקרב את הפתרון באמצעות y₁ לתחום סביב 0 ובאמצעות y₂ עבור x-ים גדולים. כלומר:

$\ \lim _{x\to 0}{\frac {y_{1}}{y}}=1,\quad \lim _{x\to \infty }{\frac {y_{2}}{y}}=1$

ואז ניתן לכתוב:

$\ {\begin{cases}y_{1}(x)\sim y(x),&x\to 0\\y_{2}(x)\sim y(x),&x\to \infty \end{cases}}$

בשיטת קירוב אסימפטוטי מוצאים קירוב לפתרון ללא פתירת המד"ר כלל.

השיטה

מציבים לתוך המד"ר את הפונקציה הכללית

$\ y(x)\sim e^{S(x)}$

ומקבלים מד"ר חדשה עבור S (כי האקספוננט יצטמצם). בשלב זה מחליטים אילו איברים ניתן להזניח בהשוואה לאחרים (לדוגמה $S^{\prime }\ll S^{\prime \prime }$) ופותרים את המד"ר הנותרת לצורך קבלת הביטוי ל-S. בשלב האחרון בודקים אם הפתרון שהתקבל לא סותר את ההזנחות שבוצעו. אם דרוש קירוב טוב יותר, מוסיפים גורם נוסף פרט ל-S שהתקבל ופותרים שוב:

$\ {\begin{cases}y\sim e^{S(x)+T(x)}\\T(x)\ll S(x)\end{cases}}$

וחוזר חלילה, עד אשר שמקבלים סתירה.

מד"ר כללית מסדר 2

נעסוק במד"ר כללית מסדר 2:

$\ y^{\prime \prime }(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=0$

נציב לתוך המדר את הקירוב

$\ y\sim e^{S(x)}$

ועל ידי שימוש בכלל השרשרת נקבל:

$\ S^{\prime \prime }(x)e^{S(x)}+[S^{\prime }(x)]^{2}e^{S(x)}+p(x)S^{\prime }(x)e^{S(x)}+q(x)e^{S(x)}=0$

נצמצם את האקספוננט ונקבל מד"ר חדשה עבור S:

$\ S^{\prime \prime }(x)+[S^{\prime }(x)]^{2}+p(x)S^{\prime }(x)+q(x)=0$