משתמש:גיל בכר/ארגז חול תורת ההפרעות

עקרונות התורה

נניח שאנו יודעים את רמות האנרגייה להמילוטניאן $H_{0}$ בצורה מדוייקת, והם $E_{n}^{(0)}$. נניח שקיים גם המילוטוניין $H=H_{0}+\epsilon H_{1}$ כאשר $\epsilon \ll 1$.
אז רמות האנרגיה להמילטוניין $H$ הן ניתן לרשום בצורה $E_{n}=E_{n}^{(0)}+\epsilon E_{n}^{(1)}+\epsilon ^{2}E_{n}^{(2)}+...$.

דוגמא מאלגברה

אנו רוצים למצוא פתרון למשוואה $x^{2}-2x+\epsilon =0$. עבור משוואה זאת אנו יודעים את הפתרון המלא, אבל לשם התרגול נפתור את הבעיה בצורה הפרעתית.
עבור $\epsilon =0$, הפתרון המדוייק הוא $x_{1}^{(0)}=0,x_{2}^{(0)}=2$.

{{קצרמר}}

פיתוח מתמטי של תורת ההפרעות הלא מנוונת סדר ראשון

נניח כי קיים המילוטוניין $H_{0}$ אשר אנו יודעים בצורה מדוייקת, כי רמות האנרגיה שלו הן $E_{n}^{(0)}$, ואלו מתאימים לפונקציות העצמיות $|\phi _{n}^{(0)}\rangle$:

$H_{0}|\phi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}|\phi _{n}^{(0)}\rangle$

עבור ההמילוטוניין $H$ קיים פתרון מדוייק מהצורה:

$H|\phi _{n}\rangle =E_{n}|\phi _{n}\rangle$

כיוון ש-$|\phi _{n}^{(0)}\rangle$ פונקציות הפורסות את המרחב כולו ניתן לפתח לטור ולרשום כל פ"ע של ההמילטוניין $H$, כך:

$|\phi _{n}\rangle =\sum _{k=0}^{\infty }C_{n,k}|\phi _{k}^{(0)}\rangle$

וכעת נפתח את המקדמים לטור כך:

$C_{n,k}=C_{n,k}^{(0)}+\epsilon C_{n,k}^{(2)}+\epsilon ^{2}C_{n,k}^{(2)}+...$

ונזכור שאנו מניחים כי עבור $\epsilon \to 0$ מקבלים $C_{n,k}=\delta _{n,k}$

{{קצרמר}}

נרשום את פונקציית הגל בצורה לא מנורמלת