משתמש:טוקיוני/שיר אהבה למחשבה/שודדים וקניבלים

שודדים מחלקים אוצר

תמונה שצייר הווארד פייל של שודדים רבים על אוצר מתוך 'ספר הפירטים' שהוא כתב.

ספינה של שודדי ים שטה באיים הקריביים ולפתע מגלה ספינת סוחר תמימה ומסכנה. מיד השודדים תוקפים את ספינת הסוחר, הורגים את הצוות שלה, מעלים אותה באש, ובבטן הספינה הם מוצאים מטמון של 100 מטבעות זהב, עתה נותר לחלק את המטמון בין השודדים. שיטת חלוקת האוצר אצל השודדים מבוססת על הפרוטוקול הבא: רב החובל של השודדים מציע הצעה לחלק את האוצר, וכל השודדים מצביעים עליה (כולל רב החובל עצמו). במידה וחצי מהצוות או יותר תומכים בהצעה אזי היא מתקבלת וכך האוצר מחולק. במידה ולא, רב החובל נזרק לים, והסגן שלו הופך לרב חובל. כך התהליך ממשיך, בכל תור רב החובל התורן מציע הצעה ונערכת הצבעה, ובכל תור אם ההצעה איננה מתקבלת אזי רב החובל נזרק לים. בהנחה שהשודדים משחקים במשחק הזה פעמים רבות, ובהנחה שהשיקול המרכזי בהצבעה של כל שודד הוא שהוא רוצה כמה שיותר מטבעות לעצמו, מה צריכה להיות ההצעה של רב החובל?

את החידה הזאת קראתי בטור של איאן סטיוארט בעיתון Scientific American, ומאז במשך שנים רבות אני משתמש בה בהדרכות למתמטיקה לילדים. החידה עובדת כל-כך טוב עם ילדים שאני חושב שכדאי להשתמש בה בבתי ספר, בהדרכות של צופים וכו'. אני תמיד מציג קודם את החידה, ואחר-כך מבקש 6 מתנדבים שיהיו השודדים בספינה, ומכיוון שילדים מאוד אוהבים להיות שודדים מיד קופצים 6 ילדים שנקרא להם כאן טליה, רואי, דני, חגית, צבי וענת. טליה היא רב החובל ולכן היא מציגה את הראשונה, ומכיוון שטליה היא רב חובל הגון במיוחד היא מציעה לחלק את האוצר שווה בשווה בין כולם (לרוע המזל 100 לא מתחלק ב-6, ולכן היא מוסיפה עוד מטבע לארבעת השודדים הבכירים). השודדים דנים בינם לבין עצמם בהצעה שלה, בכובד ראש, ואני בנתיים כותב את ההצעה שלה על הלוח:

טליה	רואי	דני	חגית	צבי	ענת
17	17	17	17	16	16

בשלב הזה רוב הילדים שאינם משתתפים במשחק לרוב מייעצים לשודדים לא להצביע בעד מכיוון שאם יזרקו את טליה לים אזי הכסף יתחלק על מספר קטן יותר של שודדים, ואכן כאשר אנחנו עורכים את ההצבעה אזי כל השודדים מלבד טליה מצביעים נגד, ובתוצאה של 5 נגד 1 ההצבעה נדחית. עכשיו רואי נהיה הרב חובל וגם הוא מציע לחלק את האוצר שווה בין כולם:

טליה	רואי	דני	חגית	צבי	ענת
17	17	17	17	16	16
X	20	20	20	20	20

בשלב הזה שווה לשים לב שנראה שהשודדים עשו בחוכמה כאשר הם זרקו את טליה לים כיוון שעכשיו מציעים להם יותר זהב. כנראה שזה גורם לשודדים להיות חמדניים אפילו יותר ולכן גם בהצבעה הזאת כולם חוץ מרואי מצביעים נגד וההצעה שלו נדחית ברוב של ארבע נגד אחד. גם רואי נזרק לים. עכשיו דני נהיה רב חובל והוא מציע את ההצעה הבאה:

טליה	רואי	דני	חגית	צבי	ענת
17	17	17	17	16	16
X	20	20	20	20	20
X	X	50	50	0	0

דני מבצע את קפיצת המחשבה הראשונה, הוא מבין שבעצם הוא לא צריך להיות נחמד לכולם, הוא צריך לזכות בהצבעה. ולכן הוא מנסה לשחד את חגית שתצביע בעדו. פה ראוי לשים לב שפתאום ההצבעה של צבי ושל ענת בסיבוב הקודם, נגד ההצעה של רואי, כבר לא נראית כמהלך מאוד חכם מכיוון שעתה מציעים להם הרבה פחות כסף. לא מציעים להם כלום. כמובן ששניהם מצביעים עכשיו נגד ההצעה של דני. חגית מתלבטת: אם היא תצביע נגד היא תהפוך לרב חובל, ולכן, אולי, היא תוכל להשיג לעצמה אפילו יותר מ-50 מטבעות זהב, מצד שני יכול להיות שההצעה שלה לא תתקבל ויזרקו אותה למים. לעומת זאת אם היא תצביע בעד, מכיוון שגם דני מצביע בעד אזי תוצאות ההצבעה יהיו שניים מול שניים ולכן ההצעה תתקבל והיא תקבל 50 מטבעות זהב על בטוח.

מה שמעניין במשחק הזה הוא שבמבט ראשון הוא נראה מאוד סבוך ומורכב. לעומת זאת אם משחקים אותו מספיק זמן, הילדים תמיד ילמדו אותו בסופו של דבר ויהפכו לשודדים מקצועיים שיודעים להשיג כמה שיותר מטבעות לעצמם. לקוראים שלי שלא יצא להם לשחק במשחק הזה, אני מייעץ בשלב הזה להפסיק לקרוא למצוא כמה שודדים נוספים ולשחק את המשחק, או לפחות לנסות לפענח את החידה בעצמכם בראש.

שלב אחר שלב, מהפשוט למסובך

החידה הזאת נראית במבט ראשון חידה מורכבת ומסובכת מאוד, אלא שאפשר לפצח אותה באופן קליל ופשוט שמבוסס כמו בחידות רבות אחרות על כך שקודם כל פותרים גירסה פשוטה וקלילה של החידה. במקרה הזה מה שהופך את החידה למסובכת הוא העובדה שיש הרבה שודדים בספינה, ולכן כדי לפצח את החידה בואו נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר, שיש רק שודד אחת, יותר נכון שודדת אחת בספינה, שקוראים לה ענת. הפתרון עכשיו הוא פשוט וברור. ענת מציעה לתת 100 מטבעות לעצמה, ואפס מטבעות לשאר השודדים (שלא קיימים). מיד נערכת הצבעה וברוב של אחד נגד אפס ההצעה מתקבלת. בוא נרשום אותה:

					ענת
					100

עכשיו ניגש למקרה השני הכי מסובך, המקרה שבו יש שני שודדים בספינה: הרב חובל צבי, וסגניתו ענת. במקרה הזה ענת בכל מקרה תצביע נגד צבי, לא משנה כמה מטבעות הוא יציע לה מכיוון שהיא יודעת שאם ההצעה שלו לא תתקבל והוא יזרק לים אזי ענת תקבל את כל 100 המטבעות. מצד שני צבי שבמילא הוא מנצח בהצבעה, מכיוון שבמילא הוא יצביע בעד ולכן תוצאת ההצבעה תהיה אחד נגד אחד. לכן הוא מציע את כל 100 המטבעות לעצמו:

				צבי	ענת
					100
				100	0

עכשיו נוספת שודדת נוספת לספינה, חגית. חגית בתור רב חובל יודעת שמכיוון שיש בספינה 3 שודדים על מנת שההצעה שלה תתקבל היא צריכה עוד קול אחד, בנוסף לקול שלה. היא חייבת לשחד את אחד השודדים, את מי? ובכן אין טעם לשחד את צבי כיוון שבמקרה וההצעה לא תתקבל הוא יזכה ב100 מטבעות, ולכן צריך לשחד את ענת. אבל כמה מטבעות לתת לה? ובכן ענת יודעת שאם ההצעה לא תתקבל וצבי יהפוך לרב חובל, אז היא לא תקבל שום דבר. לכן מספיק לתת לה מטבע זהב אחד על מנת שהיא תצביע בעד. ולכן ההצעה של חגית תהיה:

			חגית	צבי	ענת
					100
				100	0
			99	0	1

בשלב הבא כאשר יש 4 שודדים, אזי רב החובל, דני, יודע שגם הוא צריך לשחד שודד אחד נוסף שיצביע עבורו, ולכן הוא נותן מטבע זהב לענת, שיודעת שאם ההצעה לא תתקבל וחגית תהפוך לרב חובל אזי ענת לא תקבל שום דבר. באופן זה המשחק נמשך. כאשר יש 6 שודדים ההצעה צריכה להיות:

טליה	רואי	דני	חגית	צבי	ענת
98	0	1	0	1	0

עוד חידות מהפשוט למורכב

היופי בחידה הזאת הוא לא רק בפתרון הלא צפוי שלה, אלא גם בכך שלמדנו שיטה כללית ויפה בשביל לפתור חידות מסובכות: במקום להתמודד מיד אם החידה המסובכת, נהפוך אותה קודם כל לפשוטה, ואח"כ נתקדם לאט לאט בצעדים פשוטים. נשמע קל נכון? אם כך בואו ננסה ליישם את השיטה הזאת לכמה חידות דומות:

הערה:המצולמים בתמונה אינם קניבלים

• חידת הקניבלים - בשבט של קניבלים ישנו חוק הקובע שכל אישה, מרגע שהיא מגלה שבעלה בוגד בה, חייבת להוציא אותו להורג בחצות של אותו הלילה בירייה. מכיוון שהנשים בשבט הם רכלניות, הם אוהבות לספר אחת לשנייה על הבגידות של הגברים בכפר, אבל הם גם לא רוצות שנשים יתחילו להרוג את הבעלים שלהם, ולכן נוצר בשבט מצב שבו כל אישה יודעת על כל הגברים שבוגדים, מלבד בעלה: היא לא יודעת אם הוא בוגד או לא. באחד הימים אוסף ראש השבט את כל הנשים בכפר ומספר להם שלפחות אחד הגברים בכפר בוגד באשתו. באותו הערב כל הנשים בכפר חוזרות מהורהרות לבתיהם, כל הגברים מגיעים לבתיהם רועדים מפחד, לפחות אלו שבוגדים בנשיהם, בכפר משתררת דממת מוות, אך כשמגיע חצות הלילה לא נשמעים בכפר יריות. ביום השני הנשים בכפר לוקחות יום חופש על מנת לחשוב ולחשב את צעדיהם, הגברים יוצאים לעבוד, אך קשה להם להתרכז בעבודה מרוב פחד, אך כשמגיע החצות של הלילה השני לא קורה שום דבר, וכך גם בלילה השלישי והרביעי. ביום החמישי הכפר כבר חוזר לשיגרה, הגברים כבר בטוחים שהסכנה חלפה מעל ראשיהם, אך כשמגיע החצות של הלילה החמישי נשמעים בכפר יריות. כמה גברים הוצאו להורג באותו הלילה?

• טור של כובעים - חבורה של עשרה מתמטיקאים יושבים בטור, כך שכל אחד רואה את עלו שיושבים לפניו אך לא את אלו היושבים מאחוריו. מתוך קופסא שבה, כך נאמר להם, עשרה כובעים כחולים ותשעה כובעים אדומים מלבישים על הראש של כל אחד מהם כובע. עתה ניגשים אל המתמטיקאי האחרון בטור, זה שרואה את הכובעים של כולם מלבד הכובע שלו עצמו, ושואלים אותו האם הוא יכול להסיק מה צבע הכובע שעל ראשו? הוא עונה שלא. עתה ניגשים למתמטיקאי שיושב לפניו וחוזרים על השאלה, גם הוא עונה שלא. כך ממשיכים להתקדם בשורה, כל פעם שואלים את המתמטיקאים לפי הסדר האם הם יכול להסיק את צבע הכובע שעל ראשם וכולם עונים שלא, עד שמגיעים למתמטיקאי הראשון בטור, זה שלא רואה אף אחד מהמתמטיקאים האחרים, והוא עונה שכן, הוא יודע מה צבע הכובע שלו! מה צבע הכובע שלו?

• מספרים על המצח - לוקחים שני מספרים טבעיים עוקבים: כלומר שני מספרים שלמים הגדולים מאפס, כמו 14 ו-15 או 50 ו-51, ורושמים אותם על המצח של שני לוגיקאים, כך שכל אחד מהם רואה את המספר של השני אבל לא יודע את המספר שרשום על המצח שלו. עתה ניגשים אל אחד מהם ושואלים האם הוא יודע מה המספר על המצח שלו? הוא עונה שלא, אין לו מושג. עוברים לשני וחוזרים על השאלה, 'לא אני לא יודע' עונה הלוגיקאי השני. חוזרים לראשון וחוזרים על השאלה, וכך ממשיכים לשאול אותם אחד אחרי השני את אותה ההשאלה? באופן מפתיע לאחר הרבה מאוד שאלות כאלו פתאום אחד הלוגיקאים עונה שכן, הוא יודע את המספר שעל המצח שלו. איך זה יכול להיות?

פתרון חידת הקניבלים

הרמז שנתנו בפתיחת הפיסקא הוא שצריך איכשהוא לקחת את החידה המסובכת ולפתור מקרה פשוט שלה. דרך אחת להפוך את חידת הקניבלים לפשוטה יותר היא לבדוק מה קורה אם יש רק זוג נשוי אחד בשבט, ואח"כ מה קורה כאשר יש שני זוגות וכך הלאה. אלא שיש דרך פשוטה יותר לתקוף את הבעיה, וזה לבדוק מה קורה כאשר יש הרבה זוגות בשבט, אבל רק זוג אחד שהבעל בוגד באישתו, ואח"כ לסבך את החידה שלב אחר שלב, כלומר לבדוק מה קורה כאשר יש שני בעלים שבוגדים בנשים שלהם וכך הלאה. אם יש קוראים שעדיין לא פתרו לבד את החידה, אני ממליץ להם להשתמש ברמז הזה כדי לפתור אותה, לפני שהם ממשיכים לקרוא.

ובכן אם רק גבר אחד, נקרא לו צבי, שבוגד באשתו, נקרא לה ענת, אזי מרגע שראש הכפר מכריז על כך שיש בכפר לפחות גבר אחד שבוגד באשתו, ענת מיד מבינה שצבי בוגד בה, ומכאן שצבי המסכן ימצא את מותו כבר בלילה הראשון.

עכשיו נסבך בקצת את הבעיה. מה קורה עם בנוסף לצבי יש עוד גבר, נקרא לו רואי שבוגד באשתו, נקרא לה טליה. ובכן כאשר ראש הכפר מכריז שיש בכפר לפחות גבר אחד שבוגד באשתו, אזי החשד של טליה לא מתעורר מכיוון שהיא יודעת שצבי בוגד באשתו. היא מצפה שענת תירה בו בלילה הראשון. אלא שענת לא יורה בו בלילה הראשון מכיוון שהיא מצפה שטליה תירה בבעל שלה. לכן כאשר חולף החצות של הלילה הראשון ולא נשמעים יריות אזי מיד כולם מבינים שיש בכפר יותר מבעל אחד שבוגד באשתו. עכשיו טליה נמצאת בבעיה מכיוון שהיא לא יודעת על אף גבר אחר שבוגד באשתו ולכן לא נותר לה אלא להבין שרואי מוכרח להיות הגבר הבוגד השני. ענת מגיעה גם היא למסקנה הזאת ולכן בלילה השני גם צבי וגם רואי מוצאים את מותם.

אם בלילה השני לא נשמעים יריות, אזי ניתן מיד להסיק שיש בכפר יותר משני גברים שבוגדים בנשים שלהם. לכן במקרה שיש שלושה גברים שבוגדים אזי אחרי שעובר הלילה השני בשקט הנשים הנבגדות מבינות שבעליהם בוגדים בהם ולכן הגברים יוצאו להורג בלילה השלישי. וכך הלאה. אם יש 4 גברים אזי הבגידה שלהם תתגלה בלילה הרביעי, ומכיוון שבחידה נשמעו יריות בלילה החמישי סימן שהיו בכפר 5 גברים שבגדו בנשים שלהם.

מה שמעניין ואכזרי בחידה הזאת הוא מה קורה אם הנשים לא ממלאות את התפקיד שלהם כהלכה. נגיד שיש בכפר רק בעל אחד, צבי, שבוגד באשתו, אבל מאיזשהיא סיבה עלומה ענת בוחרת לא להוציא אותו להורג בלילה הראשון. מה צפוי לקרות בלילה השני?

טור של כובעים

מרגע שפתרנו את חידת הקניבלים אזי חידת הכובעים הופכת ללא קשה במיוחד. מה שאנחנו למדים מחידת הקניבלים הוא שכל לילה שעבר בשקט, ללא מאורעות, הוסיף על הידע של הנשים. כך גם בחידת הכובעים, כל תשובה שלילית של אחד המתמטיקאים מיד מגלה משהו לכל שאר המתמטקיאים. אבל מה?

ובכן האם יכול להיות שהמתמטיקאי היושב אחרון בשורה, זה שרואה את הכובעים של כולם, יגיד 'כן' כאשר הוא נשאל האם הוא יודע את צבע הכובע שלו? יש רק אפשרות אחת שהוא יגיד כן, וזה אם הכובעים של כל אלו שיושבים לפניו הם אדומים. במקרה הזה אותו מתמטיקאי יודע שמכיוון שיש רק תשעה כובעים אדומים, אזי בוודאות הכובע שלו חייב להיות כחול. מכאן מתוך זה שהוא עונה 'לא' אנחנו מיד יכולים להסיק שלא כל הקובעים של היושבים לפניו הם אדומים, לפחות אחד מהם כחול.

עתה ניגשים למתמטיקאי היושב לפניו בשורה. אם יכול להיות שהוא יגיד כן? ובכן האפשרות היחידה שהוא יגיד כן היא במידה והוא רואה רק כובעים אדומים לפניו, מכיוון שמהתשובה של קודמו הוא יודע שאחד מהכובעים שלו ושל הבאים אחריו צריך להיות כחול, ולכן אם הוא לא רואה כובע כחול לפניו סימן שהכובע שלו חייב להיות כחול. וכך הלאה. בכל שלב מתוך התשובה השלילית אנחנו יכולים להסיק שהמתטיקאי שנתן את התשובה השלילית לא ראה לפניו רק כובעים אדומים. פרט המידע הזה לא נראה משמעותי במיוחד, עד שמגיעים למתמטיקאי השני בשורה. כאשר הוא אומר 'לא', כלומר זה לא נכון שהכובעים של כל אלו שלפניו בשורה הם אדומים, מכיוון שרק מתמטיקאי אחד יושב לפניו אזי הכובע שלו מוכרח להיות כחול. מכיוון שאנחנו הסקנו את זה, גם המתמטיקאי היושב ראשון בשורה הסיק את זה וכך הוא ידע לזהות את צבע הכובע שעל ראשו.

מספרים על המצח

החידה הזאת במבט ראשון נראית יותר קשה מהאחרות, אך הפתרון שלה באופן מפתיע מתבסס על בדיוק אותו קו מחשבה, ללכת מהפשוט אל המסובך, ולנסות להבין איזה ידע נצבר עבור כל תשובה שלילית שניתנת. ובכן איך נפשט את חידת המספרים על המצח?

כאשר ניגשים למתמטיקאי הראשון, נקרא לו מוטי, האם יכול להיות שהוא יגיד כן כבר בשאלה הראשונה? כמובן, אם הוא רואה את המספר 1 כתוב על המצח של חברו, אזי מיד הוא יודע שהמספר על המצח שלו הוא 2, כיוון שהמספרים על המצח הם עוקבים וגדולים מאפס. לכן אם הוא עונה 'לא' אנחנו מיד יכולים להסיק שעל המצח של המתמטיקאי השני, נקרא לו עדי, לא רשום 1. עכשיו האם יכול להיות שעדי יגלה את המספר שעל המצח שלו? ובכן אם עדי רואה על המצח של מוטי את המספר 1, אזי הוא כמובן מיד יודע שהמספר אצלו 2, אבל גם אם הוא רואה על המצח של מוטי את המספר 2, מכיוון שבמקרה הזה הוא יודע שהמספר שעל המצח שלו הוא או 1 או 3 אבל מהתשובה הראשונה של מוטי המספר לא יכול להיות 1 ולכן מוכרח להיות 3. לכן אם עדי אומר לא בתשובה שלו מיד אפשר להסיק שהמספר שרשום למוטי על המצח הוא גדול מ-2. וכך זה ממשיך: אם מוטי אומר לא בתור הבא אזי ניתן להסיק שהמספר על המצח של עדי גדול מ-3, ואם בתור הבא עדי אומר לא סימן שהמספר על המצח של מוטי גדול מ-4 וכך הלאה. באופן הזה אחרי סידרה מספיק ארוכה של שאלות מוטי או עדי יצליחו לפענח את המספר שעל המצח שלהם.

וכך הלאה

איור מתוך הספר אי המטמון

אם נשים לב אנחנו השתמשנו לא מעט פעמים בפרק הזה במילים 'וכך הלאה'. בחידה על המספרים על המצח ראינו שאם המספרים על המצח הם 1,2 אזי יגלו אותם אחרי שאלה אחת, אם הם 2,3 אזי הם יתגלו אחרי שני שאלות אם הם 101 ו-102 אזי הם יתגלו אחרי מאה ואחת שאלות. אותו דבר בחידה של הקניבלים: אם יש גבר אחד שבוגד באשתו-הוא יוצא להורג בלילה הראשון, אם יש שלושה אז הם יוצאו להורג בלילה השלישי אם יש 500 גברים בוגדים אז יוציאו אותם להורג בלילה החמש מאות, וכך הלאה. אותו דבר קורה בחידה של השודדים: השיטה של הרב חובל היא לחלק לשודדים לסירוגין אפס או מטבע זהב אחד, ולקחת לעצמו את כל המטבעות הנותרים. ראינו שהשיטה הזאת עובדת עבור שודד אחד, שניים שישה וכך הלאה. נכון?

ובכן השימוש במילים 'וכך הלאה' הוא בסדר בכל החידות חוץ מחידת השודדים. בחידת השודדים ישנה בעיה קטנה: אם יש יותר מדי שודדים בספינה אזי באיזשהוא שלב ייגמרו כל מטבעות הזהב, ולרב החובל לא יהיה מספיק כסף לקנות מספיק קולות. מכיוון שבחידה השודדים מחלקים אוצר של 100 מטבעות זהב, אזי כאשר יש 202 שודדים, נוצר מצב שבו רב החובל צריך לקנות 100 קולות ולכן לא נשארים לו מטבעות לעצמו, כלומר הוא נשאר בחיים אבל לא מרויח שום דבר. כאשר שי 203 שודדים בספינה אזי כבר אין לרב החובל מספיק כסף לקנות 101 קולות ולכן הוא ייזרק למים. לא נעים.

לכן אנחנו לומדים כלל מאוד חשוב: צריך להזהר כאשר אומרים 'וכך הלאה': צריך לבדוק שבאמת דברים ממשיכים באותו האופן ולא קוראים בדרך תקלות מביכות כמו שנגמר לרב החובל כל המטבעות. לכן במתמטיקה המציאו שיטה איך לומר 'וכך הלאה' אבל בצורה זהירה, ולשיטה הזאת קוראים 'אינדוקציה' והיא הנושא של הפרק הבא. אבל אנחנו לא יכולים להמשיך אל הפרק הבא מבלי שנראה מה קורה לספינת השודדים כאשר אין מספיק מטבעות זהב לכולם.

ובכן כאשר ההסבר יהיה פשוט יותר, במקום להתמודד אם המצב שיש 100 מטבעות זהב אבל יותר מ-200 שודדים, בואו נפתור חידה דומה: נגיד שכאשר השודדים שרפו את ספינת הסוחר הם חילצו מבטן הספינה אוצר המכיל 0 מטבעות זהב. החוקים של השודדים הם ברורים, למרות שיש רק 0 מטבעות באוצר, עדיין צריך לחלק את האוצר לפי החוקים. לכן אם יש רק שודדת אחת, ושוב נקרא לה ענת, בספינה, היא תציע לקחת לעצמה את כל 0 המטבעות. לאחר מכן תיארך הצבעה על ההצעה הזאת, וברוב קולות של אחד נגד אפס ההצעה תתקבל. כאשר יש שני שודדים, אזי רב החובל, צבי, יציע לחלק 0 מטבעות לכל שודד, והסגנית הממורמרת שלו, ענת תצביע נגד, אך ההצעה תתקבל כיוון שתוצאותיה הם אחד נגד אחד. כאשר יש 3 שודדים, אזי רב החובלת חגית נמצאת בבעיה, צבי וענת יצביעו נגדה, ולכן היא בכל מקרה תפסיד בהצבעה ותיזרק לים. האם זה אומר שאם יש יותר משני שודדים הרב חובל תמיד יפסיד בהצבעה? מסתבר שלא. במקרה של ארבע שודדים, כאשר רב החובל הוא עכשיו דני, אזי הסגנית שלו, חגית, תצביע בעדו. חגית מצד אחד נורא רוצה להיות רב חובלת בעצמה, אבל מנגד היא יודעת שאם דני יפסיד בהצבעה וייזרק לים אזי בתור הבא היא תפסיד בהצבעה ותיזרק בעצמה לים. לכן שווה לה להצביע בעד דני וכך לפחות להשאר בחיים. מכאן שההצעה של דני תתקבל. אני משאיר לקוראים להמשיך ולראות מה קורה כאשר יש יותר מארבע שודדים בספינה.