בדרך כלל, שמים לב למקרה זה כאשר הבדיקה אינה יוצאת נכונה (בהנחה שהצבנו את המספרים הנכונים). באופן כללי, תמיד לאחר הצבת המספר, יש לוודא בסדרה את מיקומו של המספר ולחשב את הסכום המתקבל בסדרה עד לאותו מספר. למשל בדיקה בתרגיל:
1
+
2
+
⋯
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
L
:
n
=
1
{\displaystyle L:n=1}
n
=
4
{\displaystyle n=4}
1
+
2
+
3
+
4
=
10
{\displaystyle 1+2+3+4=10}
לחץ פה
דוגמא נוספות: בני גורן 006 עמוד 96 סעיף 91 .
n
=
1
{\displaystyle n=1}
עריכה
מקרה נוסף שיתכן שיקרה, יהיה כאשר המשוואה תהיה נכונה החל מ-
n
{\displaystyle n}
למשל, הוכחה שעבור כל
n
>
2
{\displaystyle n>2}
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
+
⋯
+
(
2
n
)
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
≥
n
2
{\displaystyle {\frac {(n+1)(n+2)(n+3)+\cdots +(2n)}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}}\geq n^{2}}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
n
{\displaystyle n}
n
=
3
2
⋅
3
→
4
⋅
5
⋅
6
1
⋅
3
⋅
5
≥
3
2
2
⋅
4
→
5
⋅
6
⋅
7
⋅
8
3
⋅
5
⋅
7
≥
4
2
√
{\displaystyle {\begin{aligned}&n=3\\&2\cdot 3\rightarrow {\frac {4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 3\cdot 5}}\geq 3^{2}\\&2\cdot 4\rightarrow {\frac {5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{3\cdot 5\cdot 7}}\geq 4^{2}\surd \\\end{aligned}}}
יש לציין בסוף הסעיף כי האינדוקציה נכונה החל מ-
n
=
4
{\displaystyle n=4}
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
עריכה
פעמים רבות קורה שלאחר הוספת
k
+
1
{\displaystyle k+1}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
1
+
2
+
⋯
+
2
k
{\displaystyle 1+2+\cdots +2k}
1
+
2
+
⋯
+
2
k
+
(
2
k
+
2
)
{\displaystyle 1+2+\cdots +2k+(2k+2)}
2
k
{\displaystyle 2k}
(
2
k
+
2
)
{\displaystyle (2k+2)}
1
,
2
,
3
,
4
,
…
{\displaystyle 1,2,3,4,\dots }
2
k
+
1
{\displaystyle 2k+1}
1
+
2
+
⋯
+
2
k
+
(
2
k
+
1
)
+
(
2
k
+
2
)
{\displaystyle 1+2+\cdots +2k+(2k+1)+(2k+2)}
n
{\displaystyle n}
תרגילים: נוסחאות שבהן נוסף יותר מאבר אחד בהוכחה באינדוקציה .
עריכה
אילו תרגילים בהם האבר הראשון לא ידוע והוא מוצג באמצעות נעלם. בעקבות הוספת הקבוע, האיבר הראשון משתנה ובמילים אחרות, נעלם. למשל, בתרגיל
k
+
(
k
+
1
)
+
(
k
+
2
)
+
⋯
{\displaystyle k+(k+1)+(k+2)+\cdots }
k
+
1
{\displaystyle k+1}
(
k
+
1
)
+
(
k
+
2
)
+
(
k
+
3
)
+
⋯
{\displaystyle (k+1)+(k+2)+(k+3)+\cdots }
במצב שכזה עלינו להבחין בפעולה שבין האברים ועל פיה, להתאים את הצבת ההנחה המוצב בשלב הבניינים "על פי ההנחה ". למשל, כאשר בין האברים הפעולה היא חיבור :
k
+
(
k
+
1
)
+
(
k
+
2
)
+
⋯
2
k
=
3
k
+
1
2
(
k
+
1
)
+
(
k
+
2
)
+
(
k
+
3
)
+
⋯
2
k
+
(
2
k
+
1
)
+
(
2
k
+
2
)
=
3
k
+
4
2
(
k
+
1
)
+
(
k
+
2
)
+
(
k
+
3
)
+
⋯
2
k
⏟
3
k
+
1
2
−
k
{\displaystyle {\begin{aligned}&k+(k+1)+(k+2)+\cdots 2k={\frac {3k+1}{2}}\\&(k+1)+(k+2)+(k+3)+\cdots 2k+(2k+1)+(2k+2)={\frac {3k+4}{2}}\\&\underbrace {(k+1)+(k+2)+(k+3)+\cdots 2k} _{{\frac {3k+1}{2}}{\color {blue}-k}}\\\end{aligned}}}
לעומת זאת, בתרגיל כפל אנו נבצע פעולת חילוק, שוב בהתאם להנחה.
k
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
⋯
2
k
=
3
k
+
1
2
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
⋯
2
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
=
3
k
+
4
2
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
⋯
2
k
⏟
3
k
+
1
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}&k(k+1)(k+2)\cdots 2k={\frac {3k+1}{2}}\\&(k+1)(k+2)(k+3)\cdots 2k(2k+1)(2k+2)={\frac {3k+4}{2}}\\&\underbrace {(k+1)(k+2)(k+3)\cdots 2k} _{\color {blue}{\frac {\frac {3k+1}{2}}{k}}}\\\end{aligned}}}
תרגילים: נוסחאות שבהן האבר הראשון משתנה - אינדוקציה .
n
{\displaystyle n}
או אי-זוגי
עריכה
סדרה זוגית (למשל,
2
,
4
,
6
,
8
,
⋯
{\displaystyle 2,4,6,8,\cdots }
1
,
3
,
5
,
⋯
{\displaystyle 1,3,5,\cdots }
k
+
2
{\displaystyle k+2}
כאשר
n
{\displaystyle n}
בדיקה (סעיף 1) - נבדוק עבור
n
=
1
{\displaystyle n=1}
בהוכחה (סעיף 3) - נציב
k
+
2
{\displaystyle k+2}
כאשר
n
{\displaystyle n}
בדיקה (סעיף 1) - נבדוק עבור
n
=
2
{\displaystyle n=2}
בהוכחה (סעיף 3) - נציב
k
+
2
{\displaystyle k+2}
דוגמא, בגרות קיץ תש"ע שאלון 006
קיימים מצבים בהם נצטרך לבצע אינדוקציה שניה. דוגמא, בגרות קיץ תש"ע שאלון 006
הוכחה
n
3
−
25
n
24
{\displaystyle {\frac {n^{3}-25n}{24}}}
לאחר ניסיון הוכחת התרגיל דרך אינדוקציה מגיעים למצב ישנו:
k
2
+
2
k
−
7
4
+
m
{\displaystyle {\frac {k^{2}+2k-7}{4}}+m}
כאשר m הוא מספר שלם וכך אנו נדרשים להוכיח טענה זו לכל אי-זוגי, באמצעות אינדוקציה שניה שבהוכחה שלה נוכיח גם את האינדוקציה הראשונה.
(
−
1
)
n
=
−
(
−
1
)
n
+
1
{\displaystyle (-1)^{n}=-(-1)^{n+1}}
1
n
=
1
{\displaystyle 1^{n}=1}
מינוס
דוגמא:
