מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט/אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד
שלבי פתרון משוואה עם ערך מוחלט אחד
עריכהאי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד נפתר בהתאם לערכו של . עלינו להחליט לאיזה סעיף הוא מתאים:
- - נעזר בדרך פתרון מקרה א.
- אם שלילי - אין פתרון
- אם חיובי - נפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה
- - נעזר בדרך פתרון מקרה ב.
- אם שלילי - כל (מפני שהערך המוחלט הופך כל מספר לחיובי)
- אם חיובי - ניפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה או .
- נסביר את הסעיף האחרון: אם היה לנו את המשואה אזהי כל הערכים הגדולים או שווים לאחדד מקיימים את המשוואה ומנגד, בגלל הערך המוחלט גם כל הערכים הקטנים ממינוס אחד.
מקרה א:
עריכה- אם שלילי, אז יש טעות במשוואה מאחר ונעלם בערך מוחלט אינו יכול להיות קטן ממספר שלילי, לפיכך אין פתרון לאי-שוויון זה.
- אם חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא
- מדוע כולם מבינים. למה החליטו לתחום את הפתרון ב- פשוטה. נעזר בתרגיל שפתרונו . אם היה גדול אז המשוואה לא הייתה מתקיימת. נציב למשל ב- ונראה כי אינו אמת. זו הסיבה שבכל פעם בה אנו רואים ערך מוחלט קטן ממספר חיובי נתחום את פתרונו
גרף
עריכהאם נצייר גרף לדוגמא, נוכל לראות מתי אי-השוויון מתקיים:
מהגרף ניתן לראות כי ערכי עבורם מתקיים הנם
דוגמא
עריכהמצא לאילו ערכי אי-השוויון הבא מתקיים:
מאחר ו- גדול מהערך המחלט, וכן מאחר והוא מספר חיובי, נפתור לפי הפתרון שהצגנו לעיל בסעיף א' 2:
נפטר מהערך המוחלט
נפריד בין המשוואות
נפתור כל משוואה בפני עצמה
וגם
וגם
נאחד פתרונות של משוואה גם
וזהו הפתרון.
מקרה ב:
עריכה- אם שלילי, אז אי-השוויון תמיד גדול מ- כי ערך המוחלט מיצג מספר חיובי הגדול תמיד ממספר שלילי ולכן מתקיים עבור כל . בגרף אגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימני שלילי.
- אם חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא או .
יצוג בגרף
עריכהנצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של נמצא מעל אגף ימין:
מהגרף ניתן לראות כי ערכי עבורם (מודגשים בקו שחור עבה) הנם
דוגמא
עריכהמצא לאילו ערכים של אי-השוויון הבא מתקיים:
מאחר ו- קטן מהערך המוחלט, נעזר בדרך פתרון מקרה ב. בנוסף בגלל שהוא חיובי נעזר באפשרות פתרונות באמצעות משוואת "או" כלומר סעיף ב 2.
או
או
אווזהו הפתרון.