מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט/אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד

שלבי פתרון משוואה עם ערך מוחלט אחדעריכה

אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד נפתר בהתאם לערכו של   . עלינו להחליט לאיזה סעיף הוא מתאים:

  1.   - נעזר בדרך פתרון מקרה א.
    • אם   שלילי - אין פתרון
    • אם   חיובי - נפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה  
  2.   - נעזר בדרך פתרון מקרה ב.
    • אם   שלילי - כל   (מפני שהערך המוחלט הופך כל מספר לחיובי)
    • אם   חיובי - ניפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה   או  .
נסביר את הסעיף האחרון: אם היה לנו את המשואה   אזהי כל הערכים הגדולים או שווים לאחדד מקיימים את המשוואה ומנגד, בגלל הערך המוחלט גם כל הערכים הקטנים ממינוס אחד.

מקרה א: עריכה

  1. אם   שלילי, אז יש טעות במשוואה מאחר ונעלם בערך מוחלט אינו יכול להיות קטן ממספר שלילי, לפיכך אין פתרון לאי-שוויון זה.
  2. אם   חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא  
מדוע   כולם מבינים. למה החליטו לתחום את הפתרון ב-  פשוטה. נעזר בתרגיל   שפתרונו  . אם   היה גדול אז המשוואה   לא הייתה מתקיימת. נציב למשל   ב-  ונראה כי   אינו אמת. זו הסיבה שבכל פעם בה אנו רואים ערך מוחלט קטן ממספר חיובי נתחום את פתרונו

גרףעריכה

אם נצייר גרף לדוגמא, נוכל לראות מתי אי-השוויון מתקיים:

 

מהגרף ניתן לראות כי ערכי   עבורם מתקיים   הנם

 

דוגמאעריכה

מצא לאילו ערכי   אי-השוויון הבא מתקיים:

 

מאחר ו-   גדול מהערך המחלט, וכן מאחר והוא מספר חיובי, נפתור לפי הפתרון שהצגנו לעיל בסעיף א' 2:

נפטר מהערך המוחלט

 

נפריד בין המשוואות

  וגם  

נפתור כל משוואה בפני עצמה

  וגם  

  וגם  

נאחד פתרונות של משוואה גם

 

וזהו הפתרון.

מקרה ב: עריכה

  1. אם   שלילי, אז אי-השוויון תמיד גדול מ-   כי ערך המוחלט מיצג מספר חיובי הגדול תמיד ממספר שלילי ולכן מתקיים עבור כל   . בגרף אגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימני שלילי.
  2. אם   חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא   או   .

יצוג בגרףעריכה

נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון   מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של   נמצא מעל אגף ימין:

 

מהגרף ניתן לראות כי ערכי   עבורם   (מודגשים בקו שחור עבה) הנם

  או  

דוגמאעריכה

מצא לאילו ערכים של   אי-השוויון הבא מתקיים:

 

מאחר ו-   קטן מהערך המוחלט, נעזר בדרך פתרון מקרה ב. בנוסף בגלל שהוא חיובי נעזר באפשרות פתרונות באמצעות משוואת "או" כלומר סעיף ב 2.

  או  

  או  

  או  

וזהו הפתרון.