בעיות מספרים הן בעיות שבהם נתון קשר מסוים בין ספרת היחידות לבין ספרת העשרות של מספר מסוים או בין שני מספרים שונים.
קשר בין ספרות של מספר
עריכה
הנוסחא הבסיסית
עריכה
אם נסמן:
x=ספרת העשרות
y=ספרת היחידות אז נסמן את המספר כך:
10
⋅
x
+
y
{\displaystyle \ 10\cdot x+y}
כלומר,
ספרת העשרות 10 X + ספרת היחידות = המספר
דוגמא לבעיה
עריכה
א. במספר דו ספרתי ספרת העשרות גדולה ב-2 מספרת היחידות. אם נחבר את המספר עם מספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך נקבל 88. מהו המספר?
הפתרון:
נסמן את ספרת היחידות כ-
X
{\displaystyle \ X}
X
+
2
{\displaystyle \ X+2}
10
⋅
(
X
+
2
)
+
X
{\displaystyle \ 10\cdot (X+2)+X}
במספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך ספרת היחידות היא
X
+
2
{\displaystyle \ X+2}
X
{\displaystyle \ X}
10
⋅
X
+
(
X
+
2
)
{\displaystyle \ 10\cdot X+(X+2)}
נציג את הדברים באמצעות טבלה:
ספרת היחידות
ספרת העשרות
נוסחת המספר
המספר המתבקש בשאלה
X
{\displaystyle \ X}
X
+
2
{\displaystyle \ X+2}
10
⋅
(
X
+
2
)
+
X
{\displaystyle \ 10\cdot (X+2)+X}
המספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך
X
+
2
{\displaystyle \ X+2}
X
{\displaystyle \ X}
10
⋅
X
+
(
X
+
2
)
{\displaystyle \ 10\cdot X+(X+2)}
מכיוון שסכום המספרים הוא 88, המשוואה היא: נוסחת המספר המבוקש + נוסחת המספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך = 88
ובשפה מתמטית:
10
⋅
(
X
+
2
)
+
X
+
10
⋅
X
+
(
X
+
2
)
=
88
{\displaystyle \ 10\cdot (X+2)+X+10\cdot X+(X+2)=88}
נפתח סוגריים:
10
⋅
X
+
10
⋅
2
+
X
+
10
⋅
X
+
X
+
2
=
88
{\displaystyle 10\cdot X+10\cdot 2+X+10\cdot X+X+2=88}
נכנס איברים דומים:
22
X
+
22
=
88
{\displaystyle \ 22X+22=88}
נעביר אגפים:
22
X
=
88
−
22
{\displaystyle \ 22X=88-22}
נבודד את הנעלם:
22
X
22
=
66
22
{\displaystyle \ {22X \over 22}={66 \over 22}}
התוצאה שהתקבלה:
X
=
3
{\displaystyle \ X=3}
מכיוון שספרת היחידות היא 3, ספרת העשרות היא 5, והמספר הוא 53.
בדיקה:
53
+
35
=
88
{\displaystyle \ 53+35=88}
בעיות קשר בין מספרים שונים
עריכה
קשר חיבורי
עריכה
בעיה: הסכום של שני מספרים הוא 94.המספר השני גדול ב-4 מהראשון.פתרון: נסמן את המספר הראשון ב-
X
{\displaystyle \ X}
X
+
4
{\displaystyle \ X+4}
X
+
X
+
4
{\displaystyle \ X+X+4}
X
+
X
+
4
=
94
{\displaystyle \ X+X+4=94}
X
+
X
=
94
−
4
{\displaystyle \ X+X=94-4}
2
X
=
90
{\displaystyle \ 2X=90}
X
=
45
{\displaystyle \ X=45}
בדיקה:
45
+
49
=
94
{\displaystyle \ 45+49=94}
בעיה: המכפלה של שני מספרים היא 28.ההפרש ביניהם הוא 3.פתרון: נסמן את המספר הראשון ב-
X
{\displaystyle \ X}
X
+
3
{\displaystyle \ X+3}
X
(
X
+
3
)
{\displaystyle \ X(X+3)}
X
(
X
+
3
)
=
28
{\displaystyle \ X(X+3)=28}
X
2
+
3
X
=
28
{\displaystyle \ X^{2}+3X=28}
X
2
+
3
X
−
28
=
0
{\displaystyle \ X^{2}+3X-28=0}
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \ x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
X
1
,
2
=
−
3
±
3
2
−
4
⋅
1
⋅
(
−
28
)
2
{\displaystyle \ X_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}-4\cdot 1\cdot (-28)}}}{2}}}
X
1
,
2
=
−
3
±
9
+
112
2
{\displaystyle \ X_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {9+112}}}{2}}}
X
1
,
2
=
−
3
±
121
2
{\displaystyle \ X_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {121}}}{2}}}
X
1
,
2
=
−
3
±
11
2
{\displaystyle \ X_{1,2}={\frac {-3\pm 11}{2}}}
X
1
=
−
3
+
11
2
=
8
2
=
4
{\displaystyle \ X_{1}={\frac {-3+11}{2}}={\frac {8}{2}}=4}
אפשרות 1 לפיתרון: המספר הראשון הוא 4 והמספר השני הוא 7=3+4בדיקה:
4
⋅
7
=
28
{\displaystyle \ 4\cdot 7=28}
X
2
=
−
3
−
11
2
=
−
14
2
=
−
7
{\displaystyle \ X_{2}={\frac {-3-11}{2}}={\frac {-14}{2}}=-7}
אפשרות 1 לפיתרון: המספר הראשון הוא
(
−
7
)
{\displaystyle \ (-7)}
(
−
7
)
+
3
=
(
−
4
)
{\displaystyle \ (-7)+3=(-4)}
בדיקה:
(
−
7
)
⋅
(
−
4
)
=
28
{\displaystyle \ (-7)\cdot (-4)=28}
