מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/שימוש בפרמטרים

פרמטרים

שימוש בפרמטרים הוא אחד הדברים אשר מבדילים את האלגברה מהחשבון ה"פשוט". כאשר בחשבון הפשוט חישבנו ישירות את תוצאות ה"התרגיל" למשל $\;4+9$ הרי שבאלגברה נשתדל לבצע פעולות כלליות יותר וננסה למצוא כללים אשר יוכלו לשמשנו בעתיד. אחת הדרכים לעשות זאת היא שימוש בפרמטרים. פרמטרים הינם סימנים (לרוב אותיות לטיניות או יווניות) אשר מסמנים מספר שרירותי כלשהו.
נתבונן למשל בדוגמה. ידוע הרי, שכל מספר אשר כופלים אותו ב-2 ואז מחלקים ב-2, אינו משתנה. בחשבון הפשוט לא יכולנו לכתוב באופן פשוט טענה זו. שימוש בפרמטרים, לעומת זאת, נותן לנו כלי קל לשימוש אשר הופך כתיבת כלל זה בשפה מתמטית לקל מאוד: דיברנו על כל מספר. אם בחשבון פשוט היינו חייבים לבחור מספר מסויים, הרי שכאן נבחר באות לטינית כלשהי, ונכתוב אותה במקום אותו "כל מספר". במקרה זה נבחר את האות $\;a$. כעת האמירה שלנו תתורגם כ:

$\;\left(a\times 2\right)\div 2=a$

את הפסוק ניתן לתרגם לעברית כ-$\;a$ כפול 2, חלקי 2 שווה ל-$\;a$. בפסוקים דומים לאלה אשר מכילים גם פרמטרים (במקרה שלנו $\;a$) נעסוק בהרחבה לאורך כל הספר. כמובן שעלנו לשים לב לחוקי החשבון שכן הם חלים גם על הפרמטרים באותו אופן שהיו חלים גם על מספר. שימוש בפרמטרים בהרבה מובנים הוא קל יותר מחשבון משום שבד"כ לא יהיה צורך בחישוב תוצאות מספריות כלשהן ואנו נסתפק בתוצאה עם פרמטרים בלבד.

סימונים בחשבון עם פרמטרים

תלמידים שמתחילים ללמוד אלגברה לאחר שלמדו חשבון, ישימו לב שבאלגברה חלק מהסימונים שאליהם הורגלנו בחשבון שונו והם מעתה סימונים שונים. למשל, סימן החילוק, שלעיתים מסומן $\;\div$, יסומן כמעט תמיד כקו שבר. כך למשל $\;a\div b$ הופך ל-$\;{\frac {a}{b}}$. באופן דומה, גם לכפל יש סימון אחר, והוא לרוב מסומן כנקודה בין הכופלים, למשל: $\;a\cdot b$ במקום $\;a\times b$. לעיתים, כאשר ברור שאין דו-משמעות, ניתן להשמיט לגמרי את סימון הכפל, ונקבל, למשל: $\;ab$.

הצבה

אחת הפעולות החשובות ביותר בשימוש בפרמטרים היא פעולת ההצבה. פעולה זו היא למעשה החלפת פרמטר מסויים במספר או תבנית אחרת במקומו. למשל, אם נתון הפסוק:

$\;a+b=5$

אז הצבה של $\;a=6$ תניב את הפסוק החדש הבא:

$\;6+b=5$

זהו איננו אותו הפסוק כמו מלפני ההצבה. הפסוק לאחר ההצבה לא מכיל את $\;a$ כלל. כאשר מציבים מספרים במקום פרמטרים, לרוב, זוהי פעולה בלתי הפיכה - כלומר, אנו "מאבדים" את הפסוק המקורי. למשל אם נתון הפסוק הבא:

$\;a-b+c=d$

הרי שהצבת $\;a=3$ וגם $\;b=2$ תניב את הפסוק:

$\;3-2+c=d$

אך מכיוון שמדובר במספרים, הרי שניתן לבצע את פעולת החיסור הכתובה כאן, ולקבל:

$\;1+c=d$

מכיוון שישנן אין-סוף דרכים שונות להגיע למספר - 1, הרי שלא ניתן להסיק מהפסוק החדש כיצד נראה הפסוק הקודם. עובדה מצערת זו היא גם המקור לטעויות רבות של תלמידים אשר ששים להציב מספרים בפסוקים הנתונים להם. לרוב, הצבת מספרים (גם אם אלו נתונים) עלולה להסתיר טעויות חישוב אשר נובעות מהצבה שגויה וכדומה.
ניתן אף להציב פרמטרים אחרים במקום פרמטר נתון, ואפשר אף להציב "תבניות" שלמות במקומו. את עובדה זו קל לראות, מכיוון שאם ניתן להציב כל מספר במקום פרמטר, וכל תבנית מייצגת בעצמה מספר, הרי שניתן גם להציב אותה כמספר במקום הפרמטר.

דוגמא

למשל, הבה נתבונן בפסוק שראינו קודם:

${\frac {a}{2}}\cdot {2}=a$

פסוק זה נכון לכל מספר שנציב במקום $\;a$. עובדה זו מאפשרת לנו להציב גם תבנית אחרת, למשל $\;{\frac {c+3}{2}}$ במקום $\;a$ ולקבל:

${\frac {\frac {c+3}{2}}{2}}\cdot {2}={\frac {c+3}{2}}$

והפסוק החדש אינו מאבד את אמיתותו.

תחום הצבה

אל נושא זה נחזור בהמשך הספר, אך עלינו להזכירו לפני שנמשיך על מנת שלא נעורר טעויות בהמשך. לא תמיד ניתן באמת להציב כל מספר במקום פרמטר. למשל:

${\frac {a}{b}}=3$

בפסוק זה, לא ניתן להציב $\;b=0$ הסיבה לכך ברורה: חילוק ב-0 איננו מוגדר, ולכן הפסוק מאבד את משמעותו. ישנם מקרים רבים נוספים שבהם לא ניתן יהיה להציב כל מספר בפסוק. במקרים אלו נדון בהרחבה בהמשך. לעת עתה, נידרש רק למקרים בהם המכנה בשבר שונה מ-0, כלומר, נזכור שאסור להציב מספרים במקום פרמטרים אשר יגרמו למכנה להתאפס.

הפרק הקודם: אין

שימוש בפרמטרים תרגילים

הפרק הבא: חוקי פעולות החשבון