מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/דוגמאות ושימושים נוספים

דוגמאות ושימושים נוספים

עד כה עסקנו בהצגת כל אחת מהטכניקות הפשוטות אשר יעזרו לנו בהמשך לימודינו של האלגברה והמתמטיקה בכלל. כעת נציג כמה דוגמאות שימושיות אשר יאגדו את אסופת הטכניקות הללו תחת קורת גג אחת ויראו כיצד ניתן להשתמש בהן ביחד. ברור כי לא ניתן להביא את כל הדוגמאות האפשריות. הקורא יאלץ לתרגל את הנושא בכוחות עצמו על מנת להגיע לתובנה עמוקה יותר של הנושא. לעתים נדרשת בתחום זה מידת מה של יצירתיות בפתרון התרגילים. יש מספר מצומצם של חוקים ומעט טכניקות רשומות אך ניתן להגיע לאין ספור דרכים שונות על-מנת לפשט ביטוי זה או אחר. כל דרך אשר אינה עוברת על חוקי החשבון הינה דרך לגיטימית ואין עדיפות לדרך מסויימת אם היא מגיעה לתוצאה הסופית.

כאמור, הדוגמאות הבאות באות להציג כמה טכניקות פשוטות ושימושיות. על הקורא להמשיך לתרגל בעצמו משם ולמצוא את הדרך הנוחה לו ביותר.

דוגמאות

להלן מספר ביטויים אלגבריים אשר אנו נפשט בעזרת הטכניקות אשר למדנו.

דוגמא לשימוש בנוסחאת כפל מקוצר לצמצום

${\frac {a^{2}-4a+4}{a-2}}$

זהו ביטוי פשוט למדי. אנו נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על-מנת לצמצם את האיבר במונה עם המכנה.

${\frac {a^{2}-4a+4}{a-2}}={\frac {a^{2}-2\cdot {2a}+4}{a-2}}={\frac {(a-2)^{2}}{a-2}}=a-2$

דוגמא לשימוש בפירוק טרינום בפישוט של שברים

${\frac {x^{2}-7x+12}{x-4}}={\frac {(x-3)(x-4)}{x-4}}=x-3$

בדוגמא זו השתמשנו בפירוק טרינום כפי שלמדנו בפרק הקודם.

כפל בצמוד

דוגמא זו משתמשת בטכניקה שנקראת כפל בצמוד. לא נתעמק בשלב זה במשמעות המושג צמוד. נושא זה ידון בהמשך בהרחבה. נתבונן בדוגמא:

${\frac {x+{\sqrt {2}}}{x-{\sqrt {2}}}}$

בשבר זה קשה לראות דרך "לשחרר" את המכנה מעול השורש. למעשה, לא ברור לחלוטין מדוע עלינו לעשות זאת משום שהתוצאה לא תהיה בהכרח יותר פשוטה. למרות זאת, ישנם מצבים בהם שיטה זו מועילה עד מאוד. הצמוד של המכנה, אם-כן, (הוא המספר שאותו אנו מבקשים), במקרה שלנו, זה המספר $x+{\sqrt {2}}$. כעת, נרחיב את השבר בגורם $x+{\sqrt {2}}$ ונקבל

${\frac {x+{\sqrt {2}}}{x-{\sqrt {2}}}}={\frac {{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}}{{\big (}x-{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}}}$

כאן למעשה מתרחש חלק הארי או ה"טריק" של הטכניקה הזו. אנו משתמשים בנוסחאת הכפל המקוצר $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ ומקבלים את התוצאה הבאה

${\frac {x+{\sqrt {2}}}{x-{\sqrt {2}}}}={\frac {{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}}{{\big (}x-{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}}}={\frac {{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}^{2}}{x^{2}-{\big (}{\sqrt {2}}{\big )}^{2}}}={\frac {{\big (}x+{\sqrt {2}}{\big )}^{2}}{x^{2}-2}}$

הפרק הקודם: הטרינום

דוגמאות ושימושים נוספים תרגילים

הפרק הבא: טכניקות אלגבריות פשוטות