מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/שורשי היחידה

$z^{3}=1$

בפרק זה נלמד על פתרונות המשוואה $z^{n}=1$ ובכדי להבין את הרעיון העומד מאחוריהם נבחן את המשוואה מסדר $z^{n}=3$

נציג את המספרים במשוואה $z^{3}=1$ באמצעות הצגה קוטבית:

$z=r(cos(\theta +isin\theta )$

$1=1+0i=1(cos0+isin0)$ (הנקודה $(1,0)$)

נציב ונקבל $r^{3}(cos(\theta +isin\theta )^{3}=1(cos0+isin0)$

אם שני מספרים מרוכבים שווים אז הערך המוחלט (הרדיוס) שלהם שווה והם נבדלים בגדלי הארגומנטים. זה בדיוק המצב שעומד לפניו לכן נוכל לטעון כי:

$r\geq 0\ \ \ r^{3}=1$

$3\theta =0+2\pi k$ כלומר $\theta ={\frac {0+2\pi k}{3}}$

נציב ערכים ונמצא את הזוויות העונות למשוואה

6	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$k$
$4\pi$	${\frac {10}{3}}\pi$	${\frac {8}{3}}\pi$	$2\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {2}{3}}\pi$	$0$	$\theta$

הפתרונות הינן :

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.