מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם ערך מוחלט

משמעות הערך המוחלט

הערך המוחלט של מספר הוא מרחקו מהאפס על גבי ציר המספרים, לדוגמה, ערכו של המספר $-6$ בערך הוא הוא מרחקו מהאפס וגודלו $|-6|=6$.

מרחק זה זהה למרחקו של המספר $6$ בערך מוחלט מהאפס, $|6|=6$.

על כן נוכל לטעון כי ערכו של נעלם בערך מוחלט שווה לערך הנעלם במכפלת $-1$, $\ |x|=|-x|$. על כן נובע כי ערכו המוחלט של כל מספר הוא אי שלילי, $\ |x|\geq 0$.

הגדרת הערך המוחלט

משוואה עם נעלם בערך מוחלט בעלת שתי פתרונות:

$\ |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$

מאחר שאין אנו יודעים מה ערכו של הנעלם יהיה עלינו לבחון את שלושת הפתרונות האפשריים.

הנעלם בערך מוחלט	ערכו האפשרי של הנעלם בערך מוחלט	הסבר
$x\geq 0$	$|x|=x$	אם הנעלם חיובי פתרון המשוואה זהה לערך הנעלם, למשל, $|2|=2|$
$x<0$	$|x|=-x$	אם הנעלם שלילי, פתרון המשוואה שווה למינוס ערכו של הנעלם בערך המוחלט, למשל, $|-2|=-(-2)$
$x=0$	$|x|=0$	אם הנעלם הוא אפס פתרון המשוואה שווה ל-$|0|=0$

דוגמה 1: משוואה עם ערך מוחלט בודד פתרו את התרגיל $|x-5|=10$ נבחן את המקרים האפשריים: מקרה א': אם הנעלם חיובי נקבל את המשוואה $x-5=10$ ופתרונה יהיה $x=15\ \ \ x\geq 0$ מקרה ב': אם הנעלם שלילי נקבל את המשוואה $-(x-5)=10$ ופתרונה יהיה $x=-5\ \ \ x<0$ נאחד את הפתרונות ונקבל כי הפתרון הכללי הוא $x=-5\ \ \ x<0$ או $x=15\ \ \ x\geq 0$

דוגמה 2: משוואה עם ערך שני ערכים מוחלטים פתרו את התרגיל $|7x-5|=|x+3|$ נבחן את המקרים האפשריים: מקרה א': אם הנעלם חיובי נקבל את המשוואה $7x-5=x+3$ ופתרונה יהיה $x={\frac {4}{3}}\ \ \ x\geq 0$ מקרה ב': אם הנעלם שלילי נקבל את המשוואה $-(7x-5)=x+3$ ופתרונה יהיה $x={\frac {1}{4}}\ \ \ x<0$ נאחד את הפתרונות ונקבל כי הפתרון הכללי הוא $x={\frac {8}{6}}\ \ \ x\geq 0$ או $x={\frac {1}{4}}\ \ \ x<0$