מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה

נוסחאות ויאטה

נוסחאות ויאטה הן נוסחאות המקשרות בין הפתרונות של משוואה ריבועית $ax^{2}+bx+c=0$ שיסומנו $x_{1},x_{2}$, לבין מקדמי המשוואה.
הנוסחאות מאפשרות לנו לחקור את התכונות של המשוואה הריבועית, וגם לחשב בקלות את הפתרון השני במידה והפתרון הראשון נתון כבר. $${\begin{matrix}x_{1}\!+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}}\\[3pt]x_{1}\!\cdot x_{2}={\dfrac {c}{a}}\end{matrix}}$$ בנושא חקירת משוואה ריבועית נשתמש ביותר פירוט בנוסחאות ויאטה לצורך לחקירת משוואות ריבועיות הנתונות באופן פרמטרי.

הוכחה

יהיו $x_{1},x_{2}$ הפתרונות למשוואה $ax^{2}+bx+c=0$. מתקיים כי:

$${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\[3pt]x^{2}+{\dfrac {b}{a}}x+{\dfrac {c}{a}}=(x-x_{1})(x-x_{2})\\[3pt]x^{2}+{\color {red}{\dfrac {b}{a}}}x+{\color {blue}{\dfrac {c}{a}}}=x^{2}{\color {red}\,-\,(x_{1}+x_{2})}x+{\color {blue}x_{1}x_{2}}\end{matrix}}$$

ראו גם

• פתרונות לתרגילים - נוסחאות וייטה