מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה

נוסחאות וייטה

נוסחאות וייטה הן נוסחאות המקשרות בין הפתרונות של משוואה ריבועית $ax^{2}+bx+c=0$ שיסומנו $x_{1},x_{2}$ , לבין מקדמי המשוואה. הנוסחאות מאפשרות לנו לחקור את התכונות של המשוואה הריבועית, וגם לחשב בקלות את הפתרון השני במידה והפתרון הראשון נתון כבר. הנוסחאות הן:

$${\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\dfrac {c}{a}}\end{matrix}}$$

בנושא חקירת משוואה ריבועית נשתמש ביותר פירוט בנוסחאות וייטה לצורך לחקירת משוואות ריבועיות הנתונות באופן פרמטרי.

הוכחה

נניח כי $x_{1},x_{2}$ הם פתרונות של המשוואה $ax^{2}+bx+c=0$ . מנוסחת השורשים נתון לנו כי

$$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad ,\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

נחבר:

$$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=\color {red}-{\frac {b}{a}}$$

נכפיל:

$$x_{1}\cdot x_{2}=\left({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{(2a)^{2}}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}=\color {red}{\frac {c}{a}}$$

ראה גם

• פתרונות לתרגילים - נוסחאות וייטה