מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה היא מעגל מכווץ

האליפסה היא המקום הגאומטרי המתקבל מהמעגל $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ על-ידי כיווץ או מתיחה המרחק של כל הנקודות מעגל מהקוטר בערך קבוע כך שבפועל אנו מחליפים את כל נקודה $(x,y)$ שעל המעגל בנקודה $\left(x,{\frac {b}{a}}y\right)$ בתנאי ש- $0<b<a$ .

דוגמה 1: אליפסה כיווץ של המעגל נתון המעגל $x^{2}+y^{2}=16$ . בונים אליפסה המתקבלת על-ידי הכפלת שיעורי ה- $y$ של נקודות המעגל ב- ${\frac {5}{4}}$ . מצא את משוואת האליפסה המתקבלת. על-פי הנתונים ${\frac {b}{a}}={\frac {5}{4}}$ . כדי להכפיל את שיעורי ה- $y$ עלינו להכפיל במקדם $a$ (הרי משוואת האליפסה $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$), לכן מצד אחד, נהפוך את המקדמים ${\frac {b}{a}}={\frac {4}{5}}$ ומצד שני, נחלק ב- $b^{2}$ את משוואת האליפסה ונציב את הנתון כך ש$x^{2}+{\frac {4^{2}}{5^{2}}}y^{2}=16$ נחלק ב- $16$ ונקבל ${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {1}{5^{2}}}y^{2}=1$

הוכחה

אם המעגל $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ מקיים את התנאי $0<b<a$ , דהיינו הציר הראשי הוא ציר ה- $x$ ועליו הנקודה $(x_{1},y_{1})$ , נחליף את הנקודה בנקודה אחרת, שערך ה- $y$ קטן מערך הנקודה על המעגל, כלומר $\left(x_{1},{\frac {b}{a}}y_{1}\right)$ .

עתה בעזרת הנקודה החדשה נמצא את המקום הגאומטרי המתקבל. מאחר שהקשר בין $\left(x_{1},{\frac {b}{a}}y_{1}\right)$ דומה לקשר בין $(x_{1},y_{1})$ , נוכל להניח כי הנוסחה המקשרת הינה משוואת מעגל. במילים אחרות, נציב את הנקודה במשוואת מעגל חדשה ונקבל $(x_{1})^{2}+(y_{1})^{2}=a^{2}$ .

נביע את המשוואה שקיבלו עבור כל ה- $(x,y)$ המקיימות קשר זה (ולא רק עבור הנקודה הספציפית שלנו $\left(x_{1},{\frac {b}{a}}y_{1}\right)$). נציב במקום $\left(x_{1},{\frac {b}{a}}y_{1}\right)$ את $\left(x,{\frac {b}{a}}y\right)$ עבור כל נקודה. עתה קיבלנו משוואה של אליפסה $x^{2}+{\frac {a}{b}}y^{2}=a^{2}$ .

נחלק את המשוואה ב- $a$ ונקבל משוואת אליפסה ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ שהציר הגדולה שלה שווה לקוטר המעגל.