מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה הקנונית

אליפסה קנונית היא אליפסה אשר מוקדיה על ציר ה- כך ש- ו- ומרכזה בראשית הצירים.

משוואת האליפסה הקנונית: כאשר .‏[1] או לחילופין

אורכי הרדיוסי הוקטור:

מוקדי האליפסה:



דוגמה 1: שימוש במשוואת האליפסה

מצא לאליפסה את הצירים (הגדול והקטן) ואת המוקדים.

בכדי למצוא את הפרמטרים נחלק את המשוואה ב- על-מנת שתדמה למשוואת האליפסה . נקבל .

נצמצם ונקבל .

נחלץ את ונקבל

נחלץ את ונקבל

נציב בנוסחה , נקבל . מכאן ולכן מוקדי האליפסה הנם


הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגבריעריכה

על-פי הגדרת המעגלעריכה

הנקודה   תהא נקודה על האליפסה במישור הקרטזי וערכה  .

על-פי הגדרת האליפסה, סכום המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים   (כלומר המרחק  ) שווה לגודל קבוע   .

 
 

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה, ונקבל:

 
 
 

נצמצם ב-4 ונקבל:

 

נעלה בריבוע:

 
 
 
 
 
 
 

הגודל   הוא חיובי (על-פי תנאי לקיום האליפסה   כלומר  ).

נסמן:  

נציב במשוואת האליפסה ונקבל:   כאשר   .

משוואה זו מייצגת את כל הנקודות   במישור הקרטזי שסכום מרחקיהן מהנקודות   הוא גודל קבוע השווה ל-   כאשר מתקיים:  .

באמצעות רדיוסי הוקטורעריכה

על משפט פיתגורס נוכל למצוא את אורכי הרדיוס הוקטורי:

  1.  
  2.  

נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל   .

נפרק לגורמים את נוסחת הכפל המקוצר ונקבל  

נציב על-פי הגדרת האליפסה   במשוואתנו ונקבל  

נחלק ב-   ונקבל  

נצמצם  

נעביר אגפים   ונציב את התוצאה במשוואה   כלומר   . נצמצם, נחלק ונעביר אגפים, נקבל   .

  • באופן דומה ניתן להגיע ל-  

נציב את התוצאה   במשוואה הראשונה   נקבל   .

נפתח את המשוואה ונקבל  

נסדר את הנעלמים באגף אחד  

נכפול פי   ונקבל  

על-פי תנאי לקיום האליפסה   כלומר   נציב במשוואה שלנו ונקבל   כלומר   .

הערות שוליםעריכה

  1. ^ במידה   מדובר במעגל