מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/הגדרת האליפסה

ההגדרה הנפוצה ביותר של האליפסה היא: אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור אשר סכום מרחקיהן ($r_{1},r_{2}$) משתי נקודות קבועות $F_{1},F_{2}$ (מוקדים) שווה לאורך קטע קבוע $2a$ , הקטע בין נקודות הקצה של האליפסה $-a,a$ . המרחק בין המוקדים $F_{1},F_{2}$ מסומן $2c$ .

$r_{1}+r_{2}=2a$

הגדרות נוספות של האליפסה הן:

• המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהיחס (אקסצנטריות) בין מרחקן מנקודה קבועה (מוקד) למרחקן מישר קבוע (מדריך) הוא קבוע הקטן מאחד.
• הצורה הגיאומטרית הנוצרת מחיתוך של חרוט ומישור, כאשר הזוית בין המישור לציר הסימטריה של החרוט גדולה מהזוית בין הקו היוצר של החרוט לציר הסימטריה.
• כיווץ של המעגל.

הסבר (של ההגדרה הראשונה)

סכום המרחקים של כל נקודה $P$ ממוקדי האליפסה $F_{1},F_{2}$ קבוע ושווה ל-$2a$ .

המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקד נקרא רדיוס וקטור:

• המרחק של הנקודה $P$ מ- $F_{1}$ נקרא $r_{1}$
• המרחק של הנקודה $P$ מ- $F_{2}$ נקרא $r_{2}$

הגדרת האליפסה טוענת כי $r_{1}+r_{2}=2a$ .

תנאים לקיום האליפסה

מאחר שבאליפסה נוצר משולש בין נקודה על האליפסה ושני נקודות המיקוד ניתן לקבוע כי התנאי ליצירת אליפסה על סמך המשפט סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית הנו $r_{1}+r_{2}>2c$ , לחילופין $2a>2c$ דהיינו $a>c$ . במילים אחרות, המרחק בין נקודות הקצה חייב להיות גדול יותר מהמרחק בין המוקדים.

אנו נעסוק באליפסה קנונית בלבד במהלך ספר זה.