עריכה
נשתמש בהגדרה הראשונה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהערך המוחלט של הפרש המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות (המוקדים) הוא קבוע .
בהיפרבולה הקנונית המוקדים על ציר הx ומרכזה הוא ראשית הצירים.
נסמן את המיקומים של המוקדים ב
F
1
(
−
p
,
0
)
{\displaystyle F_{1}(-p,0)}
F
1
(
p
,
0
)
{\displaystyle F_{1}(p,0)}
|
(
x
−
p
)
2
+
y
2
−
(
x
+
p
)
2
+
y
2
|
=
2
a
{\displaystyle \left|{\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+p)^{2}+y^{2}}}\right|=2a}
נעלה בריבוע:
(
x
−
p
)
2
+
y
2
+
(
x
+
p
)
2
+
y
2
−
2
[
(
x
−
p
)
2
+
y
2
]
[
(
x
+
p
)
2
+
y
2
]
=
4
a
2
{\displaystyle (x-p)^{2}+y^{2}+(x+p)^{2}+y^{2}-2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=4a^{2}}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
2
x
2
+
2
p
2
+
2
y
2
−
4
a
2
=
2
[
(
x
−
p
)
2
+
y
2
]
[
(
x
+
p
)
2
+
y
2
]
=
2
x
4
−
2
p
2
x
2
+
p
4
+
y
4
+
2
x
2
y
2
+
2
p
2
y
2
{\displaystyle 2x^{2}+2p^{2}+2y^{2}-4a^{2}=2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=2{\sqrt {x^{4}-2p^{2}x^{2}+p^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2p^{2}y^{2}}}}
נעלה בריבוע שוב:
4
x
4
+
4
p
4
+
4
y
4
+
16
a
4
+
8
x
2
p
2
+
8
x
2
y
2
−
16
x
2
a
2
+
8
y
2
p
2
−
16
p
2
a
2
−
16
y
2
a
2
=
4
x
4
−
8
p
2
x
2
+
4
p
4
+
4
y
4
+
8
x
2
y
2
+
8
p
2
y
2
{\displaystyle 4x^{4}+4p^{4}+4y^{4}+16a^{4}+8x^{2}p^{2}+8x^{2}y^{2}-16x^{2}a^{2}+8y^{2}p^{2}-16p^{2}a^{2}-16y^{2}a^{2}=4x^{4}-8p^{2}x^{2}+4p^{4}+4y^{4}+8x^{2}y^{2}+8p^{2}y^{2}}
נצמצם:
a
4
+
x
2
p
2
−
x
2
a
2
−
p
2
a
2
=
y
2
a
2
{\displaystyle a^{4}+x^{2}p^{2}-x^{2}a^{2}-p^{2}a^{2}=y^{2}a^{2}}
נכנס איברים דומים:
(
p
2
−
a
2
)
x
2
−
a
2
y
2
=
p
2
a
2
−
a
4
{\displaystyle (p^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=p^{2}a^{2}-a^{4}}
נחלק באגף ימין:
x
2
a
2
−
y
2
p
2
−
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{p^{2}-a^{2}}}=1}
נציב
p
2
−
a
2
=
b
2
{\displaystyle p^{2}-a^{2}=b^{2}}
נקבל:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
עריכה
נשתמש בהגדרה השנייה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהיחס (אקסצנטריות) בין מרחק מנקודה קבועה (מוקד) למרחקן מישר קבוע (מדריך) הוא קבוע, בתנאי שהקבוע הנ"ל גדול מאחד .
נתחיל מהמקרה בו קודקוד ההיפרבולה (הסמוך למוקד שבו בוחרים) הוא בראשית הצירים, ונעבור להיפרבולה הקנונית:
נגדיר את קבוע האקסצנטריות ב
e
{\displaystyle e}
F
(
p
,
0
)
{\displaystyle F(p,0)}
p
{\displaystyle p}
p
e
{\displaystyle {\frac {p}{e}}}
x
=
−
p
e
{\displaystyle x=-{\frac {p}{e}}}
(
x
−
p
)
2
+
y
2
x
+
p
e
=
e
{\displaystyle {\frac {\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}{x+{\frac {p}{e}}}}=e}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
e
x
+
p
=
(
x
−
p
)
2
+
y
2
{\displaystyle ex+p={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}}
נעלה בריבוע:
e
2
x
2
+
2
e
p
x
+
p
2
=
x
2
−
2
p
x
+
p
2
+
y
2
{\displaystyle e^{2}x^{2}+2epx+p^{2}=x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}}
נכנס איברים דומים:
2
(
1
+
e
)
p
x
−
y
2
+
(
e
2
−
1
)
x
2
=
0
{\displaystyle 2(1+e)px-y^{2}+(e^{2}-1)x^{2}=0}
כעת נמצא את הקודקוד השני (באמצעות השוואת y ל0):
2
(
1
+
e
)
p
x
+
(
e
2
−
1
)
x
2
=
0
{\displaystyle 2(1+e)px+(e^{2}-1)x^{2}=0}
נוציא גורם משותף:
x
(
e
2
x
−
x
+
2
p
+
2
p
e
)
=
0
{\displaystyle x(e^{2}x-x+2p+2pe)=0}
נקבל שני פיתרונות:
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
−
2
p
+
2
p
e
e
2
−
1
=
−
2
p
(
e
+
1
)
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
=
−
2
p
e
−
1
{\displaystyle x=-{\frac {2p+2pe}{e^{2}-1}}=-{\frac {2p(e+1)}{(e-1)(e+1)}}=-{\frac {2p}{e-1}}}
הפיתרון הראשון הוא הקודקוד הראשון, והשני הוא הקודקוד שרצינו למצוא. כעת נחלק את ערך הקודקוד השני בשתיים ונקבל את ערך המרכז (שהוא אמצע הקטע שבין הקודקודים):
x
=
−
p
e
−
1
{\displaystyle x=-{\frac {p}{e-1}}}
נעביר את המרכז לראשית הצירים באמצעות הטרנספורמציה
(
x
,
y
)
↦
(
x
−
p
e
−
1
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\mapsto (x-{\frac {p}{e-1}},y)}
2
(
1
+
e
)
p
(
x
−
p
e
−
1
)
−
y
2
+
(
e
2
−
1
)
(
x
−
p
e
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle 2(1+e)p(x-{\frac {p}{e-1}})-y^{2}+(e^{2}-1)(x-{\frac {p}{e-1}})^{2}=0}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
2
p
x
(
e
+
1
)
−
2
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
−
y
2
+
(
e
2
−
1
)
x
2
−
2
p
x
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
e
−
1
+
p
2
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
(
e
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle 2px(e+1)-{\frac {2p^{2}(e+1)}{e-1}}-y^{2}+(e^{2}-1)x^{2}-{\frac {2px(e-1)(e+1)}{e-1}}+{\frac {p^{2}(e-1)(e+1)}{(e-1)^{2}}}=0}
נעביר אגפים:
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
x
2
−
y
2
=
(
2
p
2
−
p
2
)
(
e
+
1
)
e
−
1
=
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
{\displaystyle (e-1)(e+1)x^{2}-y^{2}={\frac {(2p^{2}-p^{2})(e+1)}{e-1}}={\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}}
נחלק ב
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
{\displaystyle {\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}}
(
e
−
1
)
2
x
2
p
2
−
(
e
−
1
)
y
2
p
2
(
e
+
1
)
=
1
{\displaystyle {\frac {(e-1)^{2}x^{2}}{p^{2}}}-{\frac {(e-1)y^{2}}{p^{2}(e+1)}}=1}
נסמן:
p
2
(
e
−
1
)
2
=
a
2
{\displaystyle {\frac {p^{2}}{(e-1)^{2}}}=a^{2}}
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
=
b
2
{\displaystyle {\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}=b^{2}}
e
>
1
{\displaystyle e>1}
נקבל שוב:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
עריכה
נשתמש בהגדרה השלישית: ההיפרבולה היא חתך החרוט המתקבל כאשר הזוית בין המישור החותך לציר החרוט קטנה מהזוית בין הקו היוצר לציר החרוט.
אפולוניוס מפרגה מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"יסודות" של אוקלידס. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. נבחר נקודה כללית
D
{\displaystyle D}
V
,
K
{\displaystyle V,K}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
V
{\displaystyle V}
M
D
2
=
B
M
⋅
M
C
{\displaystyle MD^{2}=BM\cdot MC}
B
M
{\displaystyle BM}
V
M
{\displaystyle VM}
M
C
{\displaystyle MC}
V
M
{\displaystyle VM}
V
K
{\displaystyle VK}
B
M
=
α
V
M
,
M
C
=
V
K
+
β
V
M
(
α
,
β
>
0
)
{\displaystyle BM=\alpha VM\ ,\ MC=VK+\beta VM\ \ (\alpha ,\beta >0)}
M
D
2
=
α
V
M
⋅
(
V
K
+
β
V
M
)
=
α
V
M
⋅
V
K
+
α
β
V
M
2
{\displaystyle MD^{2}=\alpha VM\cdot (VK+\beta VM)=\alpha VM\cdot VK+\alpha \beta VM^{2}}
V
M
′
=
(
V
M
+
V
K
2
α
)
{\displaystyle VM'=\left(VM+{\frac {VK}{2\alpha }}\right)}
α
⋅
V
M
′
2
−
(
1
/
β
)
M
D
2
=
V
K
2
/
4
α
{\displaystyle \alpha \cdot VM'^{2}-(1/\beta )MD^{2}=VK^{2}/4\alpha }
V
M
{\displaystyle VM}
V
M
′
{\displaystyle VM'}
V
{\displaystyle V}
כעת במעבר למשתנים
x
,
y
{\displaystyle x,y}
β
x
2
−
y
2
α
=
V
K
2
4
β
{\displaystyle \beta x^{2}-{\frac {y^{2}}{\alpha }}={\frac {VK^{2}}{4\beta }}}
4
α
β
x
2
V
K
2
−
=
1
{\displaystyle {\frac {4\alpha \beta x^{2}}{VK^{2}}}-=1}
α
,
β
,
V
K
{\displaystyle \alpha ,\beta ,VK}
V
K
2
4
α
β
=
a
2
{\displaystyle {\frac {VK^{2}}{4\alpha \beta }}=a^{2}}
β
V
K
2
4
β
y
2
=
b
2
{\displaystyle {\frac {\beta VK^{2}}{4\beta y^{2}}}=b^{2}}
ונקבל שוב:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
למעשה בנוסף לכך שמצאנו את משוואת ההיפרבולה הוכחנו גם כי כל שלושת ההגדרות מתייחסות לאותה צורה.
אם נציב את
a
=
b
=
1
{\displaystyle a=b=1}
היפרבולת היחידה :
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
נתחיל במקרה שבו מרכז ההיפרבולה בראשית הצירים ונגדיר את מוקדיה כ
F
1
(
−
x
1
,
−
y
1
)
,
F
2
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle F_{1}(-x_{1},-y_{1})\ \ ,\ \ F_{2}(x_{1},y_{1})}
|
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
−
(
x
+
x
1
)
2
+
(
y
+
y
1
)
2
|
=
2
h
{\displaystyle \left|{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}-{\sqrt {(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}}}\right|=2h}
נעלה בריבוע:
2
x
2
+
2
x
1
2
+
2
y
2
+
2
y
1
2
−
2
[
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
]
[
(
x
+
x
1
)
2
+
(
y
+
y
1
)
2
]
=
4
h
2
{\displaystyle 2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-2{\sqrt {\left[(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}\right]\left[(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}\right]}}=4h^{2}}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
2
x
2
+
2
x
1
2
+
2
y
2
+
2
y
1
2
−
4
h
2
=
2
(
x
2
−
x
1
2
)
2
+
(
y
2
−
y
1
2
)
2
+
(
x
2
−
2
x
x
1
+
x
1
2
)
(
y
2
+
2
y
y
1
+
y
1
2
)
+
(
x
2
+
2
x
x
1
+
x
1
2
)
(
y
2
−
2
y
y
1
+
y
1
2
)
{\displaystyle 2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-4h^{2}=2{\sqrt {(x^{2}-x_{1}^{2})^{2}+(y^{2}-y_{1}^{2})^{2}+(x^{2}-2xx_{1}+x_{1}^{2})(y^{2}+2yy_{1}+y_{1}^{2})+(x^{2}+2xx_{1}+x_{1}^{2})(y^{2}-2yy_{1}+y_{1}^{2})}}}
נעלה שוב בריבוע:
4
x
4
+
4
x
1
4
+
4
y
4
+
4
y
1
4
+
16
h
4
+
8
x
2
x
1
2
+
8
x
2
y
2
+
8
x
2
y
1
2
−
16
x
2
h
2
+
8
x
1
2
y
2
+
8
x
1
2
y
1
2
−
16
x
1
2
h
2
+
8
y
2
y
1
2
−
16
y
2
h
2
−
16
y
1
2
h
2
=
{\displaystyle 4x^{4}+4x_{1}^{4}+4y^{4}+4y_{1}^{4}+16h^{4}+8x^{2}x_{1}^{2}+8x^{2}y^{2}+8x^{2}y_{1}^{2}-16x^{2}h^{2}+8x_{1}^{2}y^{2}+8x_{1}^{2}y_{1}^{2}-16x_{1}^{2}h^{2}+8y^{2}y_{1}^{2}-16y^{2}h^{2}-16y_{1}^{2}h^{2}=}
=
4
x
4
−
8
x
2
x
1
2
+
4
x
1
4
+
4
y
4
−
8
y
2
y
1
2
+
4
y
1
4
+
8
x
2
y
2
−
32
x
x
1
y
y
1
+
8
x
1
2
y
1
2
+
8
x
2
y
1
2
+
8
x
1
2
y
2
{\displaystyle =4x^{4}-8x^{2}x_{1}^{2}+4x_{1}^{4}+4y^{4}-8y^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{4}+8x^{2}y^{2}-32xx_{1}yy_{1}+8x_{1}^{2}y_{1}^{2}+8x^{2}y_{1}^{2}+8x_{1}^{2}y^{2}}
נצמצם:
16
h
4
+
16
x
2
x
1
2
−
16
x
2
h
2
−
16
x
1
2
h
2
+
16
y
2
y
1
2
−
16
y
2
h
2
−
16
y
1
2
h
2
=
−
32
x
x
1
y
y
1
{\displaystyle 16h^{4}+16x^{2}x_{1}^{2}-16x^{2}h^{2}-16x_{1}^{2}h^{2}+16y^{2}y_{1}^{2}-16y^{2}h^{2}-16y_{1}^{2}h^{2}=-32xx_{1}yy_{1}}
נחלק ב16:
h
4
+
x
2
x
1
2
−
x
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
y
2
y
1
2
−
y
2
h
2
−
y
1
2
h
2
=
−
2
x
x
1
y
y
1
{\displaystyle h^{4}+x^{2}x_{1}^{2}-x^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y^{2}y_{1}^{2}-y^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}=-2xx_{1}yy_{1}}
במקרה שבו מרכז ההיפרבולה הוא בנקודה
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
h
4
+
x
2
x
1
2
−
2
x
x
0
x
1
2
+
x
0
2
x
1
2
−
x
2
h
2
+
2
x
x
0
h
2
−
x
0
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
y
2
y
1
2
−
2
y
y
0
y
1
2
+
y
0
2
y
1
2
−
y
2
h
2
+
2
y
y
0
h
2
−
y
0
2
h
2
−
y
1
2
h
2
=
{\displaystyle h^{4}+x^{2}x_{1}^{2}-2xx_{0}x_{1}^{2}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x^{2}h^{2}+2xx_{0}h^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y^{2}y_{1}^{2}-2yy_{0}y_{1}^{2}+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y^{2}h^{2}+2yy_{0}h^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}=}
=
−
2
x
y
x
1
y
1
+
2
x
y
0
x
1
y
1
+
2
x
0
y
x
1
y
1
−
2
x
0
y
0
x
1
y
1
{\displaystyle =-2xyx_{1}y_{1}+2xy_{0}x_{1}y_{1}+2x_{0}yx_{1}y_{1}-2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}}
נצמצם:
(
x
1
2
−
h
2
)
x
2
+
(
2
x
0
h
2
−
2
x
0
x
1
2
−
2
y
0
x
1
y
1
)
x
+
(
y
1
2
−
h
2
)
y
2
+
(
2
y
0
h
2
−
2
y
0
y
1
2
−
2
x
0
x
1
y
1
)
y
+
2
x
1
y
1
x
y
+
h
4
+
x
0
2
x
1
2
−
x
0
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
{\displaystyle (x_{1}^{2}-h^{2})x^{2}+(2x_{0}h^{2}-2x_{0}x_{1}^{2}-2y_{0}x_{1}y_{1})x+(y_{1}^{2}-h^{2})y^{2}+(2y_{0}h^{2}-2y_{0}y_{1}^{2}-2x_{0}x_{1}y_{1})y+2x_{1}y_{1}xy+h^{4}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+}
+
y
0
2
y
1
2
−
y
0
2
h
2
−
y
1
2
h
2
+
2
x
0
y
0
x
1
y
1
=
0
{\displaystyle +y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}+2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}=0}
נציב:
x
1
2
−
h
2
=
a
{\displaystyle x_{1}^{2}-h^{2}=a}
2
x
0
h
2
−
2
x
0
x
1
2
−
2
y
0
x
1
y
1
=
b
{\displaystyle 2x_{0}h^{2}-2x_{0}x_{1}^{2}-2y_{0}x_{1}y_{1}=b}
y
1
2
−
h
2
=
c
{\displaystyle y_{1}^{2}-h^{2}=c}
2
y
0
h
2
−
2
y
0
y
1
2
−
2
x
0
x
1
y
1
=
d
{\displaystyle 2y_{0}h^{2}-2y_{0}y_{1}^{2}-2x_{0}x_{1}y_{1}=d}
2
x
1
y
1
=
e
{\displaystyle 2x_{1}y_{1}=e}
h
4
+
x
0
2
x
1
2
−
x
0
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
y
0
2
y
1
2
−
y
0
2
h
2
−
y
1
2
h
2
+
2
x
0
y
0
x
1
y
1
=
f
{\displaystyle h^{4}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}+2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}=f}
נקבל את המשוואה הכללית של היפרבולה:
a
x
2
+
b
x
+
c
y
2
+
d
y
+
e
x
y
+
f
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+exy+f=0}
a
=
b
=
c
=
d
=
0
,
e
=
1
,
f
=
−
1
{\displaystyle a=b=c=d=0\ \ ,\ \ e=1\ \ ,\ \ f=-1}
y
=
1
x
{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
ln
{\displaystyle \ln }
![{\displaystyle (x-p)^{2}+y^{2}+(x+p)^{2}+y^{2}-2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=4a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb87a4512e33b3f3ac12153a4674245c6e1a5dc)
![{\displaystyle 2x^{2}+2p^{2}+2y^{2}-4a^{2}=2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=2{\sqrt {x^{4}-2p^{2}x^{2}+p^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2p^{2}y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50746795a66233cc1298d0d0eac6df1648a8872f)
![{\displaystyle 2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-2{\sqrt {\left[(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}\right]\left[(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}\right]}}=4h^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed18f26aff475408676aa13f92a643398e94169)
