המקום הגיאומטרי הוא אוסף של כל הנקודות להן תכונה מסוימת
מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המרוחקות מרחק שווה מהנקודה (3,5) ומנקודה (1-,3)?
נסמן ב-(x,y) נקודה כלשהי הנמצאת על המקום הגיאומטרי המבוקש.
ולכן:
(
3
−
x
)
2
+
(
5
−
y
)
2
=
(
3
−
x
)
2
+
(
−
1
−
y
)
2
{\displaystyle {\sqrt {(3-x)^{2}+(5-y)^{2}}}={\sqrt {(3-x)^{2}+(-1-y)^{2}}}}
(
3
−
x
)
2
+
(
5
−
y
)
2
=
(
3
−
x
)
2
+
(
−
1
−
y
)
2
{\displaystyle (3-x)^{2}+(5-y)^{2}=(3-x)^{2}+(-1-y)^{2}}
25
−
10
y
+
y
2
=
1
+
2
y
+
y
2
{\displaystyle 25-10y+y^{2}=1+2y+y^{2}}
12
y
=
24
{\displaystyle 12y=24}
y=2 .
מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהישר
y
=
3
{\displaystyle y=3}
x
2
+
y
2
−
2
y
+
1
=
4
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2y+1=4}
נמצא את מרכז המעגל ורדיוסו:
x
2
+
y
2
−
2
y
+
1
=
4
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2y+1=4}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
x
2
+
(
y
−
1
)
2
=
2
2
{\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=2^{2}}
ולכן המרכז הוא
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
לפי זה המרחק של נקודה כלשהי ממרכז המעגל הוא
d
=
x
2
+
y
2
−
2
y
+
1
{\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y+1}}}
ℓ
=
d
2
−
R
2
=
x
2
+
y
2
−
2
y
+
1
−
4
=
x
2
+
y
2
−
2
y
−
3
{\displaystyle \ell ={\sqrt {d^{2}-R^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y+1-4}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y-3}}}
המרחק מהישר הוא:
y
−
3
{\displaystyle y-3}
נשווה את המרחקים:
x
2
+
y
2
−
2
y
−
3
=
y
−
3
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y-3}}=y-3}
נעלה בריבוע:
x
2
+
y
2
−
2
y
−
3
=
y
2
−
6
y
+
9
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2y-3=y^{2}-6y+9}
נעביר אגפים:
x
2
+
4
y
−
12
=
0
{\displaystyle x^{2}+4y-12=0}
כלומר
y
=
−
x
2
4
+
3
{\displaystyle y=-{\frac {x^{2}}{4}}+3}
