מתמטיקה תיכונית/הנדסת המרחב/תיבה

התיבה היא מקבילון שפיאותיו מלבנים.

אלכסונים שווים

ארבעת האלכסונים המרחביים של התיבה שווים

הוכחה

נתבונן בתיבה משמאל. מכיוון שהפאות מלבניות, נקבל כי כל צמד מקצועות נגדיות הוא שווה. נגדיר:

• $AB=DC=A'B'=D'C'=a$
• $AD=BC=A'B'=B'C'=b$
• $AA'=BB'=CC'=DD'=c$

נקבל:

• $AC'={\sqrt {AC^{2}+CC'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
• $BD'={\sqrt {BD^{2}+DD'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
• $CA'={\sqrt {CA^{2}+AA'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
• $DB'={\sqrt {DB^{2}+BB'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$\Downarrow$

$AC'=BD'=CA'=DB'$

מש"ל.

נפח ושטח מעטפת

נפח התיבה שווה למכפלת הצלעות $V=a\cdot b\cdot c$.

שטח מעטפת התיבה שווה לסכום שטחי המלבנים, כלומר $S=2ab+2bc+2ac$