מתמטיקה תיכונית/הסתברות/האם כדאי לעשות ביטוח?

כאשר אנו שוקלים לעשות ביטוח אנו מנסים לחזות מתי העלות תהיה גבוהה יותר, עם הביטוח או בלעדיו.

חישוב תוחלת

נסמן

• עלות הביטוח cost
• עלות הנזק damage
• הסיכוי לגרימת הנזק

נבדוק את האפשרויות

עלות	האירוע התממש?	הביטוח נרכש?
0	לא	לא
damage	כן	לא
cost	לא	כן
cost	כן	כן

הגישה הבסיסית להחלטה האם לרכוש ביטוח היא להשוות את התוחלת כאשר עושים ביטוח ואת התוחלת ללא ביטוח.

אם אנו רוכשים ביטוח העלות קבועה (בדוגמה זו אין השתתפות עצמית) וכך גם התוחלת וערכן הוא cost.

אם לא רוכשים ביטוח העלות היא damage בסיכוי של p ו 0 ביתר המקרים ולכן התוחלת היא p*damage.

נחשב עבור איזה ערך של p התוחלות שוות.

$cost=damage*p$

$p={\frac {cost}{damage}}$

אם p גדול מיחס זה, כדאי לעשות ביטוח (במובן התוחלת), אחרת לא.

מה ערכו של p?

ראינו בסעיף הקודם שכדאי להחליט איפה התוחלת נמוכה יותר, עלינו לדעת את ערכו של p, הסיכוי להתממשות הנזק.

הבעיה היא שבתור אדם פרטי, לרוב איננו יודעים מה הסיכוי לגניבת רכב ובוודאי לא מה הסיכוי לגניבת סובארו באזור השרון.

חסר לנו מידע חיוני כדי להחליט.

למזלנו, חברות ביטוח יודעות להעריך את הסיכויים האלו משום שהן יכולות להעריכו בעזרת כלל הביטוחים שהן עורכות.

עכשיו נראה כיצד אנחנו יכולים להשתמש בעובדה שחברות הביטוח יודעות את הסיכוי כדי להחליט בעצמנו.

נתבונן בעסקה מצידה של חברת הביטוח.

אם לא נעשה ביטוח, החברה ממילא לא מעורבת ולכן מספיק לבחון מה קורה כשיש ביטוח.

רווח לחברת הביטוח	האירוע התממש?
cost	לא
$cost-damage$	כן

תוחלת הרווח של הביטוח היא $p*(cost-damage)+(1-p)cost$

$cost-p*damage$

חברת הביטוח מרוויחה כאשר תוחלת הרווח חיובית

$cost-p*damage>0$

$cost>p*damage$

${\frac {cost}{damage}}>p$

נראה מוכר, לא?

הביטוח משתלם למבוטח אם הוא לא משתלם לחברת הביטוח. הדבר נובע מכך ביטוח הוא הימור בין המבוטח לחברת הביטוח האם המאורע יתרחש. הכסף מתחלק בין הצדדים ואם התוחלת של צד אחד חיובית התוחלת של הצד האחר חייבת להיות שלילית.

חברות הביטוח ביתרון על המבוטח - הן גם יודעות להעריך את p וגם אלו שקובעות את עלות הביטוח. ראיה לכך שתוחלת הרווח שלהן חיובית היא שהן קיימות ורווחיות. במדול שלנו לא כללנו את עלויות חברת הביטוח כך שתוחלת הרווח שלהן מעסקה צריכה להיות יותר גבוהה כדי לממן זאת. מכאן שתוחלת הרווח של המבוטח היא שלילית. לפי מבחן התוחלת, לא כדאי לעשות אף ביטוח שחברת הביטוח מוכנה להציע למבוטח. כפי שאמר גראוצו מרקס : "אני לא מוכן להיות חבר במועדון המוכן לקבל אנשים כמוני."

אז למה אנשים עושים ביטוח?

תוצאת הסעיף הקודם מעוררת תהיה. ראינו שביטוח אינו כדאי. עדיין, המוני אנשים רוכשים ביטוח באופן שיגרתי? האם כל אלו טועים?

מתמטיקאים מבססים טענות על הוכחות ונוטים לפתור טעויות של הדיוטות במשיכת כתף. כאן המקרה הוא אחר.

הסיבה להתנהגות טמונה במונח הנקרא פונקציית תועלת.

נדמיין את המקרה הבא:

• עלות רכב 100 אלף ש"ח
• עלות ביטוח 1,000 ש"ח
• שכר של בעל הרכב 10,000 ש"ח (מייד נראה למה נתון זה רלוונטי)
• הכנסה פנויה של בעל הרכב 1,000 ש"ח

כפי שראינו קודם כדאי לנו לרכוש ביטוח לאירוע של 100 אלף ש"ח בעלות של אלף ש"ח רק אם

$p>{\frac {cost}{damage}}={\frac {1000}{100000}}=0.01$

חברת הביטוח מכירה את הנתונים וקבעה ערכים אלו כי הסיכוי הוא למעשה קטן פי 10, 0.001.

כאן נכנסת פונקצית העלות, הערך האישי שאנו מייחסים לכל תוצאה.

המשמעות של ביטוח שנתי הוא הכנסה של חודש.

המשמעות של התממשות האירוע היא 100 חודשי עבודה, מעל ל 8 שנים.

על אף שהסיכון קטן (רק אחד מאלף), אותו אדם עבורו הסיכון יתממש ינזק מאד.

בדיוק לשם כך הומצא רעיון הביטוח - אנו לוקחים אירוע בעל השפעה עזה וסיכון קטן ומפזרים אותו (דרך חברת הביטוח) כך שעבור כל אחד מהמבוטחים הוא הופך לאירוע בעל השפעה מתונה וללא סיכון.

שימו לב שפונקציה התועלת היא אישית.

אם במקום אדם פרטי היינו בוחרים בחברה גדולה בעלת צי רכב של 1,000 מכוניות והון פנוי גבוה מספיק. אם החברה תבטח את כל המכוניות העלות עבורה תהיה $1,000*1,000=1,000,000$ אם היא לא תבטח הרי שהודות לחוק המספרים הגדולים צפוי כי תנזק רק מכונית אחת, (ובהסתברות גבוהה פחות מעשר מכוניות) ולכן העלות הצפויה לחברה היא רק 100,000 ש"ח.

הנחנו שלחברה יש הון פנוי גבוה מספיק כך שגם אם תפגענה יותר מעשר מכוניות בשנה מסויימת היא תוכל לספוג את העלות כך שהיא יכולה להרשות לעצמה מדיניות המשתלמת לטווח ארוך. שימו לב שלמעט תרחישים בעלי סבירות נמוכה המדיניות ככל הנראה תשתלם לה כבר בטווח הקצר.