מתמטיקה תיכונית/הסתברות/הטיות בחשיבה הסתברותית

פרק זה מבוסס על הספר ביקורתית: שיקולים סטטיסטיים ושיפוט אינטואיטיבי.

בפרק זה אנו משתמשים בחומר שלמדנו כדי לזהות הטיות בחשיבה. הכללים ההסתברותיים יסייעו לנו להגדיר את הבעיות, לזהותה ולהתגבר עליהן.

שיפוט לפי יציגות

חיים נועל סנדלים וקם מוקדם בבוקר. האם חיים קיבוצניק?

נראה שחיים הוא האידאה^[1] של קיבוצניק, דמות המייצגת את הקיבוצניק הקלאסי.

אנו נשתמש עכשיו בהסתברות כדי לברר האם אכן סביר שחיים בן קיבוץ.

ראשית, ההסתברות שאנו מעוניינים בה היא: $P(Kibbutznik|Haim)$

בהנתן שאנחנו יודעים עליו רק שהוא נועל סנדלים וקם מוקדם בבוקר (נתעלם מכך הרמז בכך ששמו הוא חיים...) אז

$P(Kibbutznik|Haim)=P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})$

כדי לתת ביטוי מתמטי לכך שקימה מוקדם בבוקר והליכה בסנדלים עלינו להעזר בטכניקה רבת העוצמה של ניפנוף ידיים. זאת משום שהביטוי יציגות אינו מוגדר מתמטית.

אנו נגדיר שקימה מוקדם בבוקר והליכה בסנדלים מייצגים קיבוצניק בעזרת ההסתברות המותנת $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)$ .

הגיוני להגדיר שתכונות אלו מייצגות קיבוצניקים אם:

ההסתברות לתכונות אצל קיבוצניקים גבוהה $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)>0.9$
ההסתברות לתופעה אצל קיבוצניקים גבוהה מאשר ביתר האוכלוסיה בשיעור ניכר ${\frac {P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)}{P({\text{Wears Sandals and Gets up early}})}}>2$

עכשיו שניסחנו מתמטית את הסיכוים ניתן לראות כי ההסתברות שחיים קיבוצניק $P(Kibbutznik|Haim)=P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})$ היא בעלת ביטוי שונה משאלת היצוג של קיבוצניק בהליכה בסנדלים וקימה מוקדם או כפי שהגדרנו אותה, הסיכוי שקיבוצניק יקום מוקדם וינעל סנדלים $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)$ .

אם כך, אנו מעונינים ב $P(Kibbutznik|Haim)=P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})$ ויש לנו רק את $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)$ . כיצד נתגבר על הבעיה?

למזלנו, מתמטיקה היא מקצוע לעצלנים וכאן היא מעמידה לרשותנו את חוק בייס.

חוק בייס מאפשר לחשב הסתברות מותנת של שני משתנים בעזרת הסתברויות הבסיס וההסתברות המותנת ההפוכה. כלומר, $P(B|A)={\frac {P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}}$ .

במקרה שלנו חוק בייס יראה כי $P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})={\frac {P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)\cdot P(Kibbutznik)}{P({\text{Wears Sandals and Gets up early}})}}$

האנשים הטובים בלמ"ס מגלים לנו ש $P(Kibbutznik)=0.02$

נחסום למלמעלה את $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)$ בערך 1. כלומר נניח שכל קיבוצניק, גם מעין חרוד איחוד וגם מעין חרוד מאוחד קם מוקדם בבוקר ונועל סנדלים. הנחה זה היא המחמירה ביותר ואם נראה שהסיכוי שחיים קיבוצינק לא גבוה כל כך, קל וחומר בהנחה פחות מחמירה.

נציב את הערכים ונקבל

$P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})={\frac {P({\text{Wears Sandals and Gets up early}}|Kibbutznik)\cdot 0.02}{P({\text{Wears Sandals and Gets up early}})}}$

$P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})<={\frac {0.02}{P({\text{Wears Sandals and Gets up early}})}}$

כלומר, בהנתן ההנחה שלנו, הסיכוי שחיים קיבוצניק תלויה בנטייה לקום מוקדם ולנעול סנדלים בכלל המדינה.

אם $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}})=1$ , כלומר כל הישראלים קמים מוקדם ונועלים סנדלים הרי שאנו לא לומדים מהתנהגות זו דבר על הייותו של חיים קיבוצניק. הסיכוי שלובש הסנדלים הוא קיבוצניק הוא $P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})=0.02$ הסיכוי להתקל בקיבוצניק.

מה אם נניח שהסיכוי באוכלוסיה להתנהגות זו היא עשירית מהסיכוי של קיבוצניקים? כלומר $P({\text{Wears Sandals and Gets up early}})=0.1$ במקרה זה $P(Kibbutznik|Haim)=P(Kibbutznik|{\text{Wears Sandals and Gets up early}})<={\frac {0.02}{0.1}}=0.2$

הסיכוי של חיים, ההולך בסנדלים וקם מוקדם להיות קיבוצניק הוא רק 20%! למרות שהקיבוצניקים כולם קמים מוקדם והולכים בסנדלים וש 90% מהעירונים ישנים עד מאוחר (ובוודאי שותים אספרסו), העירוניים מכריעים מכח מספרם.

כדי לא לסיים פרק זה בנימה עגומה, ננצל את הכח שיש לכותב השאלה בבריאת עולמות ונכריז שחיים שלנו אכן קיבוצניק.

אירועים מוכלים

נמשיך עם חיים, ידידנו הקיבוצניק.

מה מהאפשרויות האלו סבירה יותר:

חיים רפתן
חיים רפתן ומנגן באקורדיון

הבטן שלנו זועקת, אם חיים שלנו לא יהיה רפתן וינגן באקורדיון, אז מי כן?

ננשום נשימה עמוקה ונרשום את האפשרויות מתמטית.

חיים רפתן $P({\text{Works at stable}})$
חיים רפתן ומנגן באקורדיון $P({\text{Works at stable AND Plays accordion}})$

משהו מתחיל להרגיש מוזר. בעצם אנחנו באירוע השני מוסיפים תנאי לאירוע הראשון וככה עלולים לצמצם אותו. כיצד נוכל להוכיח זאת?

נשים לב כי $P({\text{Works at stable AND Plays accordion}})=P({\text{Works at stable}})*P({\text{Plays accordion}}|{\text{Works at stable}})$

מעצם היותה הסתברות, היא לא יכולה להיות גדולה מ-1 ולכן $P({\text{Plays accordion}}|{\text{Works at stable}})<=1$ ומכאן $P({\text{Works at stable AND Plays accordion}})<=P({\text{Works at stable}})$

לסיום סעיף זה כדאי

לחשוב מתי הסיכויים שחיים יהיה רפתן ושחיים יהיה רפתן ומנגן באקורדיון שווים
אנחנו הוכחנו את הטענה על ידי חילוץ הסיכוי שחיים רפתן. הוכיחו את הטענה על ידי חילוץ הנגינה באקורדיון
לנשום לרווחה, חיים הוא רפתן ויודע לנגן באקורדיון^[2]

רמת וודאות

עדנה הפרה ^[3] עומדת להמליט. למי ניתן ליילד אותה?

איציק, שיילד בהצלחה 100% מהעגלים שלו
חיים שיילד בהצלחה 95% מהעגלים שלו

החדים מבין קוראינו מבינים שההחלטה הנכונה היא לתת לחיים לילד ועתה מה שנותר הוא להבין את הסיבה ולנמקה היטב. מומלץ לעצור לרגע ולחפש סיבה אפשרית לבד^[4]

איציק הוא רפתן חדש. הוא יילד עגל אחד ואכן עשה זאת בהצלחה. חיים הוא רפתן ותיק, הוא יילד 100 עגלים ו95 מקרים עברו בהצלחה.

ברור לנו כי ההצלחה של איציק עשויה להיות מקרית וככל שאנו מבססים את ההחלטה על יותר מקרים, היא תקפה יותר. ישנן שיטות סטטיסטיות רבות לשקלל את מספר המקרים להערכת הסיכוי והדיון בהן הוא מעבר לחומר הנלמד^[5] למתעניינים כדאי לקרוא על רווח בר-סמך.

חוק המספרים הגדולים באמת והתממשותו במדגמים קטנים מאד

בטקס השבועות התגלו שתי עובדות מעניינות:

כל התינוקות שנולדנו השנה בקיבוץ נערן היו זכרים
כל התינוקות שנולדנו השנה בקיבוץ נען היו זכרים

למי שאינו מבני התיישבות העובדת שתי העובדות עשויות להראות מאד דומות. מי שכן מכיר את הקיבוצים יודע שבקיבוץ נערן חיים 81 איש ובקיבוץ נען חיים כ 1,500 איש. לפי ממוצע של 5 נפשות למשפחה נקבל כי בנערן יש חיות כ- 15 משפחות ובקיבוץ נען חיות 300 משפחות.

היינו עלולים לחשוב שהסיכוי ללידת רק בנים בנען קטן פי 20 מזה בערן אולם מייד נראה כי היחס האמיתי רחוק מכך.

נקרב את הסיכוי ללידה במשפחה לפעם ב- 15 שנה ונניח שהמשפחות בלתי תלויות ^[6]. לאור זאת ממוצע הלידות בשנה בנערן הוא 1 ובנען הוא 20.

אם נולד תינוק יחיד בנערן יש סיכוי של 50% שהוא זכר וכך יהיו כלל תינוקות הקיבוץ באותה השנה. מספר הבנים מתוך התינוקות מתפלג התפלגות בינומית ובמקרה של נען ${\textrm {B}}\left(20,{\frac {1}{15}}\right)$

, וההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ( $k=0,1,\ldots ,n$ ) היא:

P\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}

לכן, ההסתברות שכל התינוקות הם זכרים היא ${20 \choose 20}0.5^{20}\times 0.5^{0}=0.5^{20}={\frac {1}{2^{20}}}$

נשים לב כי $2^{10}=1024\sim 10^{3}$ ולכן הסיכוי למחזור של כולו בנים בנען הוא בערך 1 למיליון.

חוק המספרים הגדולים באמת ותפקיד עורך השער האחורי

נראה שבעיתונים רבים תפקידו של עורך השער האחורי מוגדר כ"יש לחפש ידיעות על מקרים מוזרים מרחבי העולם". הגדרת תפקיד כזו עלולה לגרום לנו לחשוש מלהכנס לנעליו. מה יקרה אם השנה לא יוולדו רק בנים בקיבוץ נען? ^[7]

ננשום עמוק ונראה מה שלל הידיעות שעומדות לרשותנו. אם יוולדו רק בנות בנען הידיעה תתאים לנו לא פחות וכבר הכפלנו את הסיכוי למציאת ידיעה. ישנם יותר ממאה קיבוצים בישראל ושוב התקדמנו (נניח שפי 100). בקיבוץ יש ענפים רבים (רפת, לול) שכל אחד יכול לספק אירועים. כפי שניתן לראות, אנו מוקפים באירועים רבים מאד בעלי סבירות נמוכה. כאשר כוללים את כולם יחד הסיכוי שאחד מהן יתרחש הופך להיות גבוה.

כך למדנו כיצד השערים האחוריים שורדים שנים ארוכות בכל כך הרבה עיתונים.

^ בספר שלם על מתמטיקה אפשר לכתוב התייחסות אחת לפילוסופיה
^ אין כמו חירות דרמטית
^ סטראוטיפים, כמו הערות שוליים, הם מדרון חלקלק אחרי שמתחילים קשה להפסיק
^ חיים הוא לא חבר של מזכיר הקיבוץ, הוא באמת הרפתן הטוב ביותר בקיבוץ
^ החומר הנלמד לבחינות הבגרות. האשם הוא של משרד החינוך
^ מיצאו לפחות 3 סיבות לכך שהמידול לא מדוייק. מדוע למרות זאת זהו קירוב סביר?
^ ואז אנו גם נפספס את הידיעה של הגיוס של כל התינוקות לאחר 18 ליחידה מובחרת.

[1] בספר שלם על מתמטיקה אפשר לכתוב התייחסות אחת לפילוסופיה

[2] אין כמו חירות דרמטית

[3] סטראוטיפים, כמו הערות שוליים, הם מדרון חלקלק אחרי שמתחילים קשה להפסיק

[4] חיים הוא לא חבר של מזכיר הקיבוץ, הוא באמת הרפתן הטוב ביותר בקיבוץ

[5] החומר הנלמד לבחינות הבגרות. האשם הוא של משרד החינוך

[6] מיצאו לפחות 3 סיבות לכך שהמידול לא מדוייק. מדוע למרות זאת זהו קירוב סביר?

[7] ואז אנו גם נפספס את הידיעה של הגיוס של כל התינוקות לאחר 18 ליחידה מובחרת.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]