מתמטיקה תיכונית/וקטורים/המכפלה הסקלרית

עד כה עסקנו בחיבור וחיסור של וקטורים ובכפל שלהם במספרים ממשיים. כעת, נלמד על ההגדרה של המכפלה הסקלרית ועל שימושיה הרבים בחישובים כמותיים עם וקטורים. נלמד שבעזרת המכפלה הסקלרית ניתן להגדיר את הזווית ואת האורך של הוקטורים וכן, נראה את תכונותיה המעניינות.

רענון

ראשית נערוך תזכורת קצרה של הנושאים מרחק בין שתי נקודות במישור. אם הנושא הזה כבר מוכר לכם היטב אתם יכולים לעבור ישירות להקדמה.

מרחק בין שתי נקודות

משולש ישר־זוית, חישוב מרחק בין שתי נקודות במישור

בהינתן שתי נקודות במישור $A,B$ אנו מעוניינים למצוא את המרחק ביניהן (הכוונה כמובן למרחק הקצר ביותר, שהוא אורך הקו הישר המחבר בין שתי הנקודות - הקו האוירי). כדי לעשות זאת, נעביר אנכים מהנקודות $A,B$ לציר $x$ ולציר $y$ (סך הכל ארבעה אנכים, שניים לכל ציר). עקב כך, נוצר לנו משולש ישר זווית (כמצויר בתמונה משמאל). כעת נוכל להשתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את אורך היתר של המשולש, שהוא בעצם המרחק בין $A$ ל-$B$ .

הגדרה 1: המרחק בין שתי נקודות במישור יהיו $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ אז המרחק בין $A$ ל־$B$ הוא $d_{AB}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

הקדמה

כמה דברים שצריך לעבור עליהם טרם נגיע להגדרת המכפלה הסקלרית.

אורך וקטור מבחינה גאומטרית

עד כה דיברנו רק על הסימון של אורך הוקטור ולא התעמקנו לחלוטין במשמעות המושג "אורך" של וקטור. להלן ההגדרה האורך:

הגדרה 2: אורך של וקטור האורך של הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ מוגדר להיות אורך הקטע $AB$

את המרחק ניתן לחשב באמצעות המרחק של שתי נקודות במישור או במרחב.

הזוית בין שני וקטורים

אילוסטרציה של הזווית בין שני וקטורים במישור

הזוית בין שני וקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}$ מוגדרת להיות הזווית בין הקרן $OA$ לקרן $OB$ (כאן O אינה בהכרח ראשית הצירים).

הזוית יכולה להיות מוגדרת בין שני וקטורים שאין להם בהכרח את אותו המוצא, במקרה זה פשוט מזיזים את אחד מהוקטורים למוצאו של השני כדי ליצור להם מוצא משותף.

הסימון המקובל לזוית שבין שני הוקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}}$ הוא:

$\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})$

הגדרת המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית היא פעולה שניתן לבצע בין שני וקטורים שתוצאתה היא סקלר. היא מוגדרת בצורה הבאה:

הגדרה 3: מכפלה סקלרית עבור שני וקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}}$ המכפלה הסקלרית מוגדרת להיות ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos(\angle ({\vec {a}},{\vec {b}}))$

שימו לב: כיון שהאורך של וקטור האפס מוגדר להיות 0, המכפלה הסקלרית של וקטור האפס בוקטור אחר מוגדרת גם היא להיות 0.

כדאי לדעת: מכפלה סקלרית מוגדרת גם בין וקטור לעצמו, במקרה זה נהוג לסמן ${\vec {w}}\cdot {\vec {w}}={\vec {w}}^{2}$ . על המשמעות של המכפלה הסקלרית של וקטור בעצמו נדון בחלק על שימושים של המכפלה הסקלרית למציאת אורך של וקטור.

תכונות המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית מקיימת מספר תכונות שבעזרתן ניתן למצוא קשרים שונים שמקלים על העבודה בחישובים שונים.

לכל ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ולכל סקלר $t$ מתקיים:

חילופיות (קומוטטיביות)

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$

פילוג על חיבור (דיסטריבוטיביות)

${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$

הומוגניות

${\vec {a}}\cdot (t{\vec {b}})=t({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

שימו לב: מכפלה סקלרית אינה כפל רגיל!! היא לא מקיימת תכונות שהיינו מצפים מכפל בדרך־כלל. לדוגמא, לא ניתן לצמצם בה וקטורים – זה חסר משמעות ומוביל לתוצאה שגויה.

חישוב המכפלה הסקלרית

את המכפלה הסקלרית של שני וקטורים ניתן לחשב באמצעות מספר דרכים שונות. ייתכן מצב שבו נאלץ להשתמש בשיטה אחת בגלל נוחות לחישוב מסוים ולעתים נשתמש בשתי שיטות כדי ליצור משוואות שיעזרו לנו למצוא נעלמים.

בהינתן אורכים וזויות

דרך החישוב הזו היא פשוט שימוש ישיר בהגדרה של המכפלה הסקלרית. בגלל שאת ההגדרה כבר הרחבנו מעל ומעבר נסיים בדוגמה קצרה של דרך החישוב הזו.

דוגמא

יהיו ${\vec {a}},{\vec {b}}$ וקטורים במרחב כאשר $|{\vec {a}}|=6,|{\vec {b}}|=2$ והזוית ביניהם היא $60^{\circ }$ .

המכפלה הסקלרית תהיה:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=6\cdot 2\cdot \cos(60^{\circ })=6$

דרך ייצוג אלגברי

המכפלה הסקלרית ניתנת לחישוב בעזרת הייצוג אלגברי של שני וקטורים בדרך הבאה:

בהינתן הוקטורים:

${\begin{aligned}{\vec {a}}&=(a_{x},a_{y},a_{z})\\{\vec {b}}&=(b_{x},b_{y},b_{z})\end{aligned}}$

המכפלה הסקלרית היא:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

הייצוג האלגברי שימושי מאוד במציאת הזוית בין שני וקטורים כאשר רק הייצוג האלגברי שלהם נתון בעזרת השוואה עם ההגדרה ה"גאומטרית" של המכפלה הסקלרית.

שימו לב: כאן אמנם שמנו הגדרה לוקטורים במרחב, אך ההגדרה זהה במהותה לוקטורים במישור וכן לוקטורים בעלי ממדים גבוהים יותר. באופן כללי, המכפלה הסקלרית היא תמיד הסכום של מכפלות הקואורדינאטות המתאימות של הוקטורים.

באמצעות היטלים

דוגמה להיטל של הוקטור $A$ על וקטור $B$

דבר ראשון נסביר מהו היטל. כיוון שההגדרה עצמה מעט בעייתית נגדיר את ההיטל בצורה האינטואיטיבית ביותר.

הגדרה 4: היטל ההיטל של וקטור ${\vec {a}}$ על הוקטור ${\vec {b}}$ הוא הוקטור באורך של $|a|\cos \theta$ בכיוונו של $b$ כש- $\theta$ הזווית בין שני הוקטורים. למען הפשטות נסמן את ההיטל של $a$ על $b$ כך: ${\vec {p}}_{a}$ .

במילים אחרות, אם נוריד אנך מוקטור ${\vec {a}}$ לוקטור ${\vec {b}}$, ניתן לראות באמצעות שיטת המשולש שאפשר להרכיב את ${\vec {a}}$ כסכום של 2 וקטורים: אחד מקביל לוקטור ${\vec {b}}$ והשני מאונך לו (זה האנך שהורדנו). ההיטל הוא הרכיב המקביל. דרך נוספת להסתכל על ההגדרה היא שאם וקטור $a$ הוא מקל והוקטור $b$ מונח על הרצפה, ההיטל יהיה הצל של וקטור $a$.

המכפלה הסקלרית היא לכן:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\pm |{\vec {b}}||{\vec {p}}_{a}|$

השיטה הנ"ל נוחה מאוד לשימוש בהוכחות שונות במרחב ובמישור, למרות שבדרך-כלל נהוג להשתמש בשתי השיטות שהוזכרו לעיל.

שימושי המכפלה הסקלרית

כפי שהוזכר כבר בעבר, למכפלה הסקלרית שימושים רבים הן מבחינה גאומטרית וכן גם לפישוט של חישובים פנימיים. כעת נראה את השימושים העיקריים שלה.

אורך של וקטור

נסתכל על ההגדרה של המכפלה הסקלרית. אם נציב בהגדרה זו פעמיים וקטור מסוים, נקרא לו ${\vec {a}}$ אנחנו נקבל:

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cos(0^{\circ })=|{\vec {a}}|^{2}$

כלומר, המכפלה הסקלרית של הוקטור בעצמו היא ריבוע האורך שלו. לכן נוכל לרשום:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}$

שימו לב: אמנם בתוך השורש כופלים פעמיים בוקטור, אבל אין לצמצם את הריבוע ואת הוקטור! החזקה בתוך השורש היא של מכפלה סקלרית בעוד השורש הוא שורש של מכפלה רגילה בין מספרים ממשיים!

נוסחה זו שימושית מאוד כאשר נתון לנו ייצוג של וקטור מסוים בעזרת וקטורים אחרים ואנחנו מעוניינים לחשב את האורך שלו.

זוית בין וקטורים

נסתכל על ההגדרה של המכפלה הסקלרית ונבודד משם את קוסינוס הזוית, נקבל:

$\cos {\bigl (}\angle ({\vec {a}},{\vec {b}}){\bigr )}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$

בצורה הזו קל למצוא זוית בין שני וקטורים כאשר הם נתונים בייצוג אלגברי.

הוכחת ניצבות

דוגמה לניצבות בין וקטורים במלבן. הוקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}}$ ניצבים זה לזה

שני וקטורים נקראים ניצבים זה לזה אם הזווית ביניהם היא $90^{\circ }$, ומסמנים זאת כך ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$ . נוכיח את הטענה הבאה:

טענה 1: ניצבות של וקטורים הוקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}}$ (השונים מוקטור ה־${\vec {0}}$) ניצבים זה לזה אם ורק אם ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ .

הוכחה: ראשית נציב בהגדרה $90^{\circ }$ . כיון ש־$\cos(90^{\circ })=0$ המכפלה הסקלרית מתאפסת.

כעת נוכיח שאם עבור שני וקטורים ${\vec {a}},{\vec {b}}$ מתקיים ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ אז הם בהכרח ניצבים. אם המכפלה הסקלרית שווה 0, על־פי הגדרתה זה אומר שאחד האורכים של ${\vec {a}}$ או של ${\vec {b}}$ הוא 0, או שקוסינוס הזוית מתאפס. כיון ששני הוקטורים שונים מוקטור ה-${\vec {0}}$ , גודלם לא יכול להתאפס ולכן בהכרח קוסינוס הזוית מתאפס, כלומר הזוית שווה $90^{\circ }$ .

בעזרת בדיקת המכפלה הסקלרית, או השוואת המכפלה הסקלרית ל־0, ניתן לבדוק ניצבות ולהשתמש בניצבות כדי להוכיח הוכחות גאומטריות. בהמשך נשתמש במכפלה הסקלרית כדי למצוא וקטור הניצב לוקטור אחד או יותר וכן נבדוק ניצבות בין ישרים ומישורים.

נוסחאות נוספות

לאחר שראינו את החשיבות המכפלה הסקלרית ושימושיה הרבים אנו זקוקים לדרכים פשוטות ונוחות יותר לחישוב שלה. נשתמש בתכונות המכפלה הסקלרית כדי לפתח נוסחאות פשוטות ונוחות יותר.

יהיו ${\vec {a}},{\vec {b}}$ וקטורים כלשהם במישור או במרחב. נרשום:

$({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}$

נשים לב, שיש רק מכפלה סקלרית אחת בביטוי מימין, ואת ריבועי הוקטורים ניתן להשיג באמצעות האורך שלהם, לכן נוכל לרשום:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}-(|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2})}{2}}$

למרות שנראית מסובכת, הנוסחה הנ"ל יכולה להיות מאוד שימושית במקרים מסוימים ורצוי לזכור אותה בעל־פה.