מתמטיקה תיכונית/וקטורים/חישובי מרחקים

מרחק של נקודה ממישור

אם הנקודה היא $(x_{0},y_{0},z_{0})$ והמישור הוא $ax+by+cz+d=0$ , אז המרחק בין הנקודה למישור הוא ${\frac {{\bigg |}ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d{\bigg |}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ .

כלומר, אם המישור הוא ${\rm {{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}}}+d=0$ והנקודה היא ${\vec {p}}$, אז המרחק הוא ${\frac {{\Big |}{\rm {{\vec {a}}\cdot {\vec {p}}}}+d{\Big |}}{|{\rm {{\vec {a}}|}}}}$

אם המישור מוצג בהצגה פרמטרית אז יש קודם לעבור למשוואה ואז להשתמש בנוסחה זאת.

מרחק של ישר ממישור המקביל לו

כדי לחשב מרחק בין ישר למישור המקביל לו, יש לבחור נקודה כלשהי על הישר (לדוגמא, אם הישר הוא ${\rm {{\vec {x}}={\vec {a}}}}+t{\rm {\vec {v}}}$ אפשר לבחור $t=0$ ולקבל את הנקודה $a$) כעת, אפשר לחשב את המרחק ביניהם ע"פ הנוסחה שבפסקה למעלה.

מרחק בין שני מישורים מקבילים

גם כאן, בוחרים נקודה על אחד מהמישורים (לדוגמא, אם המישור הוא ${\rm {{\vec {x}}={\vec {a}}}}+t_{1}{\rm {\vec {v}}}+t_{2}{\rm {\vec {u}}}$ אפשר לבחור $t_{1}=t_{2}=0$ ולקבל את הנקודה $a$) ומחשבים ע"פ הנוסחה שבפסקה הראשונה.

מרחק בין נקודה לישר

כדי לחשב מרחק של נקודה מישר, יש למצוא אנך לישר שעובר דרך הנקודה. אחת הדרכים לעשות זאת היא למצוא נקודה כללית על הישר, לחשב אותה תחת התנאי שהוקטור שעובר דרכה ודרך הנקודה מאונך לוקטור הכיוון של הישר, ואז לחשב את המרחק באמצעות הנוסחה הרגילה.

לדוגמא: אם אנחנו רוצים לחשב את המרחק בין הישר ${\rm {\vec {x}}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\5\\0\end{pmatrix}}$ לנקודה ${\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$ , הנקודה הכללית של הישר היא ${\begin{pmatrix}t+1\\5t+2\\3\end{pmatrix}}$ הוקטור שמחבר בינה לבין הנקודה הוא ${\begin{pmatrix}t-3\\5t+1\\1\end{pmatrix}}$ אנחנו רוצים שוקטור זה יהיה מאונך לוקטור הכיוון של הישר כלומר ${\begin{pmatrix}t-3\\5t+1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\0\end{pmatrix}}=0$
$t-3+25t+5=0$
$t=-{\frac {2}{26}}=-{\frac {1}{13}}$
כעת מציבים את t ב: ${\begin{pmatrix}t+1\\5t+2\\3\end{pmatrix}}$ ונקבל ${\begin{pmatrix}{12 \over 13}\\{21 \over 13}\\3\end{pmatrix}}$.

עכשיו אפשר לחשב את המרחק: $d={\sqrt {(4-12/13)^{2}+(1-21/13)^{2}+(2-3)^{2}}}={\sqrt {141/13}}=3.29$ וזאת התשובה.

מרחק בין ישרים מקבילים

כדי לחשב מרחק בין ישרים מקבילים, יש לבחור נקודה כלשהי על אחד הישרים, ולחשב את המרחק ע"פ המוסבר בפסקה הקודמת.

מרחק בין ישרים מצטלבים

כדי לחשב מרחק בין ישרים מצטלבים, יש למצוא מישור המכיל את אחד מהם ומקביל לשני. אם לדוגמא הישרים הם
$L_{1}:{\rm {{\vec {x}}={\vec {a}}}}+t_{1}{\rm {\vec {v}}}$
$L_{2}:{\rm {{\vec {x}}={\vec {b}}}}+t_{2}{\rm {\vec {u}}}$
אז אפשר לקחת את המישור ${\rm {{\vec {x}}={\vec {a}}}}+t_{1}{\rm {\vec {v}}}+t_{2}{\rm {\vec {u}}}$ שהוא מכיל את $L_{1}$ ומקביל ל- $L_{2}$ . כעת אפשר לחשב את המרחק לפי הדרך שתוארה מקודם.