מתמטיקה תיכונית/וקטורים/פירוק וקטור לרכיבים ומעבר בין מערכות צירים

שימו לב: החומר בפרק זה הוא לא חובה לבגרות במתמטיקה והוא שימושי בעיקר לתלמידי המגמה הפיזקלית שצריכים לעשות שימוש בוקטורים בפתירת תרגילים.

ייצוג וקטורים

ניתן לייצג וקטור בשתי צורות עיקריות:

1. על-ידי הצגת הגדלים של רכיבי הוקטור בכל אחד מהצירים
2. על-ידי הצגת גודל הוקטור וכיוונו

דוגמה:

ניקח דוגמא פשוטה של וקטור בשני ממדים. נסמן את המימדים בשני צירים - ציר X וציר Y. אנו יכולים לתאר את הוקטור הזה על ידי ציון רכיבי ה-X וה-Y שלו. לחליפין, אנו יכולים לתאר אותו על ידי ציון הגודל הכולל שלו והזוית שלו ביחס לחלק החיובי של ציר ה-X.

במקרים רבים נעדיף שיטת ייצוג אחת על פני האחרת משיקולים של פישוט החישובים. לעתים אנו נדרשים לעבור מצורת ייצוג אחת לשניה.

משפט פיתגורס

נערוך חזרה קצרה על ההגדרות במשולש ישר זוות. כל ההגדרות והמשפטים מבוססים על התמונה משמאל.

ניצב

אחת הצלעות במשולש ישר זוית שיוצרת זווית של 90 מעלות (בתמונה, הניצבים במשולש ABC הם AC ו-AB).

יתר

הצלע (היחידה) במשולש ישר זוית שנמצאת "ממול" לזווית הישרה (בתמונה, הצלע BC היא היתר במשולש ABC).

פונקציית הסינוס sin

מקבלת זוית (במעלות או ברדיאנים) בתוך משולש ישר-זוית, ומחזירה את היחס בין הניצב שמול הזוית, ליתר.(בתמונה, $\sin(\alpha )={\frac {AC}{BC}}$ )

פונקציית הקוסינוס cos

מקבלת זוית (במעלות או ברדיאנים) בתוך משולש ישר-זוית ומחזירה את היחס בין הניצב שליד הזוית, ליתר (בתמונה, $\cos(\alpha )={\frac {AB}{BC}}$ )

להלן דרכים קלות לזכור את המשמעויות של הפונקציות sin ו-cos :
$\sin$ - היחס בין הצלע הרחוקה (נזכור זאת כ'סין' = ארץ רחוקה, סין = צלע רחוקה) ליתר. כלומר מבצעים חילוק בין הצלע הרחוקה מהזוית, ליתר ומבטאים זאת כ: סינוס הזוית.

נניח ויש לנו משולש שבו אחת הצלעות היא 30 ס"מ והיתר הוא 50 ס"מ. מהו סינוס הזוית שמול ה-30 ? תשובה: 30 חלקי 50 (30/50) או 0.6.

$\cos$ - היחס בין הצלע הקרובה ליתר כלומר מבצעים חילוק בין הצלע הקרובה ליתר ומבטאים זאת כ: קוסינוס הזוית.

נניח ויש לנו את אותו משולש ניתן לראות על-פי בנייתו כי היחס של אותה זוית הוא 40/50 או 0.8.

משפט 1: משפט פיתגורס במשולש ישר-זוית ABC מתקיים: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$. כלומר, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

אם ידוע לנו שאחת הצלעות היא 50 והשניה 30 אז הניצב (או גם אפשר להגיד "אנך") האחר הוא 40. כי (50 בחזקת 2) = (40 בחזקת 2) + (30 בחזקת 2).

למשל: אם ברצוננו לחשב את הכוח המופעל על גוף מסוים חסר מסה ששווה ל-30 וכיוונו כ-20 מעלות מעל להיטלו (כלומר, מעל לציר ה-X) ואנו רוצים לדעת מה רכיבי ה-X וה-Y? נעשה זאת כך:

$30\cdot \sin(30^{\circ })$ - ציר ה-Y.

$30\cdot \cos(30^{\circ })$ - ציר ה-X. מכאן: גודל רכיב ה-Y הנו 15 גודל רכיב ה-X הנו בערך 25.98.

כדאי לדעת: אם בדקתם במחשבון תגלו שלעתים מגיעים למספרים בעלי רצף עשרוני ארוך (הרבה ספרות אחרי הנקודה העשרונית) ולכן נהוג לעגל אותם ל-3 או 2 ספרות אחרי הנקודה. אם היינו צריכים לכתוב את ציר ה-X כ: 25.98076211 החישובים היו ארוכים ומסורבלים ולא אסתטיים לעין וכידוע מתמטיקה היא שפה השואפת לאסתטיות.

פירוק לרכיבים

כאשר נתון לנו הגודל והכיוון של וקטור, ואנו רוצים למצוא את רכיביו, אנו צריכים לפרק את הוקטור לרכיבים. הרעיון המרכזי מאחורי פירוק וקטור לרכיבים הוא מציאת ההיטל של הוקטור על כל אחד מהצירים.

בניתוח הבא, נניח שנתון לנו הגודל והכיוון של הוקטור ${\vec {F}}$ ונניח שמוצאו בראשית הצירים (אם לא, תמיד נוכל להזיז אותו לשם). הכיוון בדרך כלל ניתן על-ידי ציון הזוית שהוקטור יוצר עם ציר ה-X, נכנה את הזוית הזו $\alpha$ ונסמן את גודל הוקטור ${\vec {F}}$ פשוט כ- $|{\vec {F}}|$.

שימו לב: הערך המוחלט מציין כאן את אורכו של הוקטור, כהשאלה מתמטית הדומה למרחק מספר ממשי כלשהו מראשית הצירים. לעומת זאת: בהתעסקותנו להלן עם גדלי "הרכיבים" $|{\vec {F}}_{x}|,|{\vec {F}}_{y}|$ - שהם רכיבי הוקטור ${\vec {F}}$ ביחס לצירים בהתאמה - יש לזכור כי וקטור הוא גודל בעל כיוון, לכן אין להתבלבל ולהתייחס אל הרכיבים כבעלי גודל חיובי בלבד עקב סימן הערך המוחלט, שכן ערכי הפונקציות הטריגונומטריות הנ"ל בהם נשתמש יכולים להיות חיוביים או שליליים בהתאם לערכי הזוית $\alpha$. לכן נאמר כי ערכי "הרכיבים" אינם חיוביים אלא "ממשיים". אך בשימושנו בגודל הוקטור $|{\vec {F}}|$ עצמו נוכל להתייחס אליו כערך חיובי רגיל.

פירוק בציר ה-X

נוריד אנך מסוף הוקטור אל ציר ה-X. נוצר לנו משולש ישר-זוית שהיתר שלו הוא הוקטור ${\vec {F}}$. קל לראות, שההיטל בציר ה-X הוא הניצב במשולש שנמצא ליד הזווית $\alpha$. לכן נשתמש בהגדרת פונקציית הקוסינוס:
$\cos(\alpha )={\frac {|{\vec {F}}_{x}|}{|{\vec {F}}|}}$
נבודד את $|{\vec {F}}_{x}|$ (היטל בציר ה-X) ונקבל:
$|{\vec {F}}_{x}|=|{\vec {F}}|\cdot \cos(\alpha )$

פירוק בציר ה-Y

האנך שהורדנו אל ציר ה-X, מקביל ושווה להיטל של הוקטור F על ציר ה-Y. האנך נמצא מול הזוית $\alpha$ לכן נשתמש בהגדרת פונקציית הסינוס:
$\sin(\alpha )={\frac {|{\vec {F}}_{y}|}{|{\vec {F}}|}}$
שוב, נבודד את ${\vec {F}}_{y}$ (היטל בציר ה-Y) ונקבל:

$|{\vec {F}}_{y}|=|{\vec {F}}|\cdot \sin(\alpha )$

ובכך קיבלנו את הייצוג האלגברי של הוקטור ${\vec {F}}$.

כדאי לדעת: השיטה הנ"ל שימושית ביותר בפתרון של בעיית כוחות על גוף נקודתי בפיזיקה. כאשר נתונים לנו מספר כוחות הפועלים על גוף ועלינו למצוא את שקול הכוחות, ניתן לפרק כל אחד מהכוחות לפי הרכיבים שלהם ולחבר אותם רכיב רכיב כדי לקבל ייצוג אלגברי של השקול.