מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ג/035303/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה : ${\begin{aligned}{\begin{cases}a_{1}=11\\a_{n+1}=a_{n}+2n+11\end{cases}}\\\end{aligned}}$ הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל איבר בסדרה הנמצא במקום זוגי מתחלק ב-8.
נושאים	מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

צ"ל : ${\frac {a_{2n}}{8}}=\mathbb {Z}$

בניית נוסחת הנסיגה

נוסחת הנסיגה של הסדרה $\ a_{2n}$ הינה $\ a_{2n+2}$, בכדי לבטא ולפרט את מרכבי הנוסחה, נפתח אותה, במצעות נוסחה הנסיגה הנתונה : $\ a_{n+1}=a_{n}+2n+11$

נמצא את האיבר $\ a_{2n}$ על פי נוסחת הנסיגה הנתונה: $\ a_{n+1}=a_{n}+2n+11$.
${\begin{aligned}&a_{n+1}=a_{n}+2n+11\\&a_{n+1{\color {blue}+n-1}}=a_{n{\color {blue}+n-1}}+2(n{\color {blue}+n-1})+11\\&a_{2n}=a_{2n-1}+2(2n-1)+11\\&a_{2n}=a_{2n-1}+4n-2+11\\&a_{2n}=a_{2n-1}+4n+9\\\end{aligned}}$

בכדי למצוא את $\ a_{2n+2}$ עלינו למצוא את $\ a_{2n+1}$ שכן על פי נוסחת הנסיגה:
${\begin{aligned}&a_{n+1}=a_{n}+2n+11\\&a_{n+1{\color {blue}+n+1}}=a_{n{\color {blue}+n+1}}+2(n{\color {blue}+n+1})+11\\&a_{2n+2}=a_{2n+1}+2(2n+1)+11\\&a_{2n+2}=a_{2n+1}+4n+2+11\\&a_{2n+2}={\color {red}a_{2n+1}}+4n+13\\\end{aligned}}$

לכן, נמצא את $\ a_{n+1}$ על פי נוסחת הנסיגה ואותו נציב בנוסחה לעיל:
${\begin{aligned}&a_{n+1}=a_{n}+2n+11\\&a_{n+1{\color {blue}+n}}=a_{n{\color {blue}+n}}+2(n{\color {blue}+n})+11\\&a_{2n+1}=a_{2n}+2(n+n)+11\\&a_{2n+1}=a_{2n}+4n+11\\\end{aligned}}$

ומכאן הנוסחה של $\ a_{2n+2}$ הינה :
${\begin{aligned}&a_{2n+2}={\color {red}a_{2n+1}}+4n+13\\&\Rightarrow a_{2n+1}=a_{2n}+4n+11\\&a_{2n+2}=a_{2n}+4n+11+4n+13\\&a_{2n+2}=a_{2n}+8n+24\\\end{aligned}}$

אינדוקציה

האיבר הראשון : $\ a_{1}=11$

נוסחת הנסיגה: $\ a_{2n+2}=a_{2n}+8n+24$.
צ"ל : ${\frac {a_{2k}}{8}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {a_{2n}}{8}}={\frac {a_{2n-1}+4n+9}{8}}\\&{\frac {a_{2*1}}{8}}={\frac {a_{2*1-1}+4*1+9}{8}}\\&={\frac {a_{1}+4+9}{8}}\\&\Rightarrow a_{1}=11\\&={\frac {11+4+9}{8}}\\&={\frac {24}{8}}=3\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {\color {red}a_{2k}}{8}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {\color {blue}a_{2(k+1)}}{8}}\\&{\frac {\color {blue}a_{2k+2}}{8}}\\\end{aligned}}$

על פי נוסחת הנסיגה

${\frac {\color {blue}a_{2k+2}}{8}}={\frac {{\color {red}a_{2k}}+8k+24}{8}}$

על פי הנחת האינדוקציה

${\begin{aligned}&\underbrace {\frac {a_{2k}}{8}} _{\mathbb {Z} }+{\frac {8k+24}{8}}\\&=\mathbb {Z} +{\frac {8(k+3)}{8}}\\&=\mathbb {Z} +k+3\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.