נגדיר את הבעיה שלנו : מופיע אינדוקציה ואחריה תרגיל "שאין לו קשר אל האינדוקציה.
מחפשים קשר בין התרגילים.
מה מבקשים? על מה שואלים? :
2
∗
3
a
n
+
3
∗
2
a
n
+
1
38
{\displaystyle {\frac {2*3^{a_{n}}+3*2^{a_{n}+1}}{38}}}
נתבונן וננסה להבין את הקשר (מה משותף לשני הסעיפים? מה מקשר בניהם? מה חסר בכדי שנוכל לקשר אותם?) בין השאלה לאינדוקציה :
2
,
5
,
8
,
⋯
a
n
,
⋯
{\displaystyle \ 2,5,8,\cdots a_{n},\cdots }
.
רמז ראשון
בשניהם יש
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
רמז שני
אי אפשר להוכיח את האינדוקציה בגלל שבחזקה מופיע
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
ו-
a
n
+
1
{\displaystyle \ a_{n+1}}
אותם אנחנו לא יודעים לפרק
פתרון
צריך לגלות את
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
באמצעות האינדוקציה הראשונה, ולהציב אותו באינדוקציה אותה עלינו להוכיח
מציאת
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
עריכה
למציאת
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
עלינו למצוא את האיבר הראשון וההפרש בין האיברים. האיבר הראשון נתון לנו (
2
{\displaystyle \ 2}
) ולכן כל שעלינו לעשות הוא למצוא את ההפרש בין האיברים.
a
2
−
a
1
5
−
2
=
3
d
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2}-a_{1}\\&5-2=3\\&d=3\\\end{aligned}}}
עתה נציב את הגורמי במשוואת
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
ונגלה את האנוסחא הכללית לאיברי הסדרה :
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
a
n
=
2
+
(
n
−
1
)
3
a
n
=
2
+
3
n
−
3
a
n
=
3
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\&a_{n}=2+(n-1)3\\&a_{n}=2+3n-3\\&a_{n}=3n-1\\\end{aligned}}}
בסדרה המבוקשת עלינו לדעת גם את
a
n
+
1
{\displaystyle \ a_{n+1}}
לכן נגלה גם אותו :
a
n
+
1
=
a
n
+
d
a
n
+
1
=
3
n
−
1
+
3
a
n
+
1
=
3
n
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n+1}=a_{n}+d\\&a_{n+1}=3n-1+3\\&a_{n+1}=3n+2\\\end{aligned}}}
נציב את האיברים הכללים באינדוקציה השניה :
2
∗
3
3
n
−
1
+
3
∗
2
3
n
+
2
38
{\displaystyle {\frac {2*3^{3n-1}+3*2^{3n+2}}{38}}}
הוכחת אינדוקציה
עריכה
2
∗
3
3
n
−
1
+
3
∗
2
3
n
+
2
38
=
Z
{\displaystyle {\frac {2*3^{3n-1}+3*2^{3n+2}}{38}}=\mathbb {Z} }
בדיקה נכונות הטענה עבור
n
=
1
{\displaystyle \ n=1}
עריכה
2
∗
3
3
n
−
1
+
3
∗
2
3
n
+
2
38
2
∗
3
3
−
1
+
3
∗
2
3
+
2
38
2
∗
3
2
+
3
∗
2
5
38
18
+
96
38
114
38
3
=
Z
√
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2*3^{3n-1}+3*2^{3n+2}}{38}}\\&{\frac {2*3^{3-1}+3*2^{3+2}}{38}}\\&{\frac {2*3^{2}+3*2^{5}}{38}}\\&{\frac {18+96}{38}}\\&{\frac {114}{38}}\\&3=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}}
נניח כי הטענה נכונה עבור
n
=
k
{\displaystyle \ n=k}
טבעי
עריכה
2
∗
3
3
k
−
1
+
3
∗
2
3
k
+
2
38
=
Z
{\displaystyle {\frac {2*3^{3k-1}+3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} }
נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1
עריכה
2
∗
3
3
(
k
+
1
)
−
1
+
3
∗
2
3
(
k
+
1
)
+
2
38
=
Z
2
∗
3
3
k
+
2
+
3
∗
2
3
k
+
5
38
=
Z
2
∗
3
3
k
−
1
∗
3
3
+
3
∗
2
3
k
+
2
∗
2
3
38
=
Z
27
∗
2
∗
3
3
k
−
1
+
8
∗
3
∗
2
3
k
+
2
38
=
Z
(
8
+
19
)
∗
2
∗
3
3
k
−
1
+
8
∗
3
∗
2
3
k
+
2
38
=
Z
8
∗
2
∗
3
3
k
−
1
+
19
∗
2
∗
3
3
k
−
1
+
8
∗
3
∗
2
3
k
+
2
38
=
Z
8
(
2
∗
3
3
k
−
1
+
3
∗
2
3
k
+
2
)
38
+
19
∗
2
∗
3
3
k
−
1
38
=
Z
Z
+
38
∗
3
3
k
−
1
38
=
Z
Z
+
3
3
k
−
1
=
Z
√
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2*3^{3(k+1)-1}+3*2^{3(k+1)+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*3^{3k+2}+3*2^{3k+5}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*3^{3k-1}*3^{3}+3*2^{3k+2}*2^{3}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {27*2*3^{3k-1}+{\color {blue}8}*3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {({\color {blue}8}+19)*2*3^{3k-1}+8*3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8*2*3^{3k-1}+19*2*3^{3k-1}+8*3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8(2*3^{3k-1}+3*2^{3k+2})}{38}}+{\frac {19*2*3^{3k-1}}{38}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {38*3^{3k-1}}{38}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +3^{3k-1}=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}}
על פי ההנחה
k
{\displaystyle \ k}
מספר טבעי ולכן החזקה של
3
3
k
−
1
{\displaystyle \ 3^{3k-1}}
חיובית
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.