מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2

התרגיל

א. הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת אפשרית כי לכל $\ n$ טבעי מתקיים : $\ 2*4+5*4^{2}+8*4^{3}+11*4^{4}+\cdots +(6n-1)4^{2n}={\frac {(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}}$ ב. הראה כיצד אפשר לחשב על סמך סעיף א' את הסכום: ${\begin{aligned}&\ 2*4+5*16+8*64+\cdots +26*262,144\end{aligned}}$

נושא: אינדוקציה

מקור: [1] [2]

סעיף א'

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת אפשרית כי לכל $\ n$ טבעי מתקיים : $\ 2*4+5*4^{2}+5*4^{3}+11*4^{4}+\cdots +(6n-1)4^{2n}={\frac {(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}}$

סעיף 2

התרגיל : $\ 2*4+5*16+8+64+\cdots +26*262,144$ - חשב את הסכום.

1. כל איבר שמפורט בתחילת האינדוקציה - חשוב ("לא סתם בזבזו דיו").
2. צריך לגלות את $\ n$ האיבר האחרון שמוצג בסדרה לעיל. זאת בכדי שנוכל להציב את האיבר בסכום ולגלות את ערך כל הסדרה עד אותו מספר.

הסדרה : $\ 2*4+5*4^{2}+5*4^{3}+11*4^{4}+\cdots +(6n-1)4^{2n}=S$.
הסכום ($\ s$): ${\frac {(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}}$

1. איך מגלים את $\ n=26*262,144$? באמצעות חוקיות.

מציאת חוקיות

1. שמים לב שמספר האיברים המוצגים לפנינו הוא ארבע איברים (לא סתם!)
2. היחסים בין האיברים :
3. קפיצות של $\ +3$ כאשר איבר אחד מוכפל ב-$\ 4^{k}$.
   • מעולה! $\ 26*4^{?}$. כיוון שהמספר $\ 26$ לא כזה רחוק מהסדרה שלנו אפשר לחשב את ה-$\ n$ באופן ידני : $\ 2,5,8,11,14,17,20,23,26$. לכן, $\ 4^{2n}=9$
4. מציבים את המספר באיבר האחרון של הסדרה $\underbrace {(6n-1)} _{26}*\underbrace {4^{2n}} _{262,144}$. מקבלים $\ (6n-1)=26$. פותחים את המשוואה וגלים שנתקענו!
5. מתאוששים. לא נכנעים!
6. חוזרים להתחלה - כמה איברים מוצגים בסדרה? ארבע - לא סתם!. מה עוד אפשר לומר על הסדרה? פעם איבר זוגי ופעם איבר אי זוגי.
7. אהה! הסדרה היא בעלת שתי תתי איבר. האיבר הראשון הוא $2*4+5*4^{2}$. לכן, הציגו ארבעה איברים, לכן, הם זוגי-אי זוגי.
8. מה עכשיו? מביטים על האיבר שלנו, הוא רק תת מספר אחד (הראשון-זוגי) ולכן נמצא את תת איבר שני $\ 26+3=29$.
9. הפעם נשווה את המספר הנכון $\ (6n-1)=29$. ומכאן $\ n=5$. נציב אותו ב-$\ 4^{2}$ ונקבל שערכו הוא $\ 10$.
10. ממראים! $\ s_{1-29}-s_{29}=s_{1-26}$ (צריך בסוף להוריד את האיבר האחרון - אנחנו לא יודעים לכמה שווה $\ 4^{2n}$ של (המספר $\ 26$).

${\begin{aligned}&{\frac {(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}}\\&{\frac {(6*5-2)*4^{2*5+1}+8}{3}}-29*4^{10}\\&39,146840-29*4^{10}=8,738,136\\\end{aligned}}$