מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תש"ע/035006/תרגיל 3

התרגיל

שמו כאשר $\ x>0$ (בבגרות הופיע רק צד ימין של הגרף) נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}{x+2}}$ , $x\neq -2$ בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה $\ f(x)$ עבור $\ x\geq 0$. מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה $\ f(x)$ בנקודה שבה $\ x=1$ מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף $\ f(x)$, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-$\ y$ עבור $x\geq 0$ מצא את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה $\ f(x)$ (אם יש כאלה) עבור כל תחום ההגדרה של הפונקציה. שאלה ב' סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום ההגדרה שלה. נתונה הפונקציה $\ g(x)=\left|f(x)\right|$ סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $\ g(x)$.

נושא: חקירת פונקציה, בחילוק פולינומי

מקור [1]

סעיף א'

הפונקציה המוצגת לפנינו, היא פונקציה שקשה לגזירה כיוון שגם במונה וגם במכנה שלה יש יותר משני גורמים, לכן, נעזר בחילוק פולינומי בכדי לפשט את התרגיל.

${\begin{matrix}x^{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}}{\big \rceil }{x+2}&\ \end{matrix}}$

עתה נכפיל את התוצאה במספר משמאל ונחסיר אותה מהמספר שבימין :
${\begin{matrix}2x^{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}}{\big \rceil }{x+2}&\ \\{\underline {\ -2x^{4}+4x^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}}$

עתה נחזור על הפעולות; נחלק שוב את החזקה הגבוה ביותר מימין בחזקה הגבוה ביותר משמאל.
${\begin{matrix}2x^{3}+2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}}{\big \rceil }{x+2}&\ \\{\underline {\ -2x^{4}+4x^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x^{2}-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}}$

נכפיל את התוצאה ונחסירה מהמספר מימין :
${\begin{matrix}2x^{3}+2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}}{\big \rceil }{x+2}&\ \\{\underline {\ -2x^{4}-4x^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x^{2}-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\underline {-2x^{2}-4x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4x-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}}$

נחלק $\ -4x$ (החזקה הגדולה ביותר מימין) ב-$\ x$ החזקה הגדולה ביותר משמאל :
${\begin{matrix}2x^{3}+2x-4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}}{\big \rceil }{x+2}&\ \\{\underline {\ -2x^{4}-4x^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x^{2}-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\underline {-2x^{2}-4x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4x-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}}$

נכפיל את התוצאה $\ -4$ בצידו השמאלי של התרגיל $\ x+2$ ונקבל :
${\begin{matrix}2x^{3}+2x-4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {2x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-8}}{\big \rceil }{x+2}&\ \\{\underline {\ -2x^{4}-4x^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x^{2}-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\underline {-2x^{2}-4x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4x-8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\underline {-(-4x-8)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}}$

אין שארית ולכן הפתרון הוא : $\ 2x^{3}+2x-4$ .

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.