מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תש"ע (ניסוי)/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

סעיף א

תת סעיף 1

נתון כי

$P({\text{Passed stats}})=0.8$

$P({\text{Passed prob}})=0.6$

$P({\text{Passed all}})=P({\text{Passed prob}})^{2}*P({\text{Passed stats}})=0.6*0.6*0.80=0.288$

תת סעיף

$P({\text{Passed two}})=P({\text{Failed stats}})*P({\text{Passed both prob}})+P({\text{Passed stats}})*P({\text{Passed exactly one prob}})$

נחשב את ההסתברות לשני המקרים

$P({\text{Failed stats}})*P({\text{Passed both prob}})=0.2*0.6*0.6=0.072$

אנו נבחנים בהסתברות 2 פעמים ולכן אנו דוגמים מהתפלגות $B(2,0.6)$

ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\ldots ,n$) היא:

$P\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}$

$P({\text{Passed exactly one prob}})={2 \choose 1}*0.6*0.4$ נוסחת הבינום היא $\ n!={\binom {n}{k}}\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $\ {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

מכאן ${2 \choose 1}=2!/(1!*1!)=2$

$P({\text{Passed exactly one prob}})=2*0.6*0.4=0.48$ $P({\text{Passed stats}})*P({\text{Passed exactly one prob}})=0.8*0.48=0.384$

$P({\text{Passed two}})=0.072+0.384=0.456$

תת סעיף 3

ניתן לעבור את המבחן במעבר שתים מהבחינות או כל הבחינות. את הסיכוי לאירועים אילו חישבנו מוקדם יותר. $P({\text{Passed exam}})=P({\text{Passed all}})+P({\text{Passed two}})$ $P({\text{Passed exam}})=P({\text{Passed all}})+P({\text{Passed two}})=0.288+0.456=0.744$

סעיף ב

יש לחשב את $P({\text{Passed both prob}}|{\text{Passed exam}})$

$P({\text{Passed both prob}}|{\text{Passed exam}})={\frac {P({\text{Passed both prob and Passed exam}})}{P({\text{Passed exam}})}}$

נשים לב כי שרבגע שתלמיד עובר את שתי הבחינות בססתברות מובטח כי הוא עובר את הבחינה ולכן $P({\text{Passed both prob and Passed exam}})=P({\text{Passed both prob}})$

ולכן $P({\text{Passed both prob}}|{\text{Passed exam}})={\frac {P({\text{Passed both prob}})}{P({\text{Passed exam}})}}$

מוקדם יותר חישבנו כי $P({\text{Passed exam}})=0.288+0.456=0.744$

$P({\text{Passed both prob}})=0.6*0.6=0.36$

$P({\text{Passed both prob}}|{\text{Passed exam}})={\frac {P({\text{Passed both prob}})}{P({\text{Passed exam}})}}={\frac {0.36}{0.744}}=0.483870968$

העשרה

• פרדוקס סימפסון