מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ג (חדשה)/035203/תרגיל 15

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $y={\frac {e^{ax}}{1-x}}$ כאשר $a>0$ מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר $y=k$, הבע באמצעות $a$ את ערכי $k$ עבורם אינן נקודות חיתוך בין הישר הנתון לפונקציה הנתונה.
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

$1-x\neq 0$

$x\neq 1$

סעיף ב

נגזור את פונקצית המנה: $y={\frac {e^{ax}}{1-x}}$

גזירת המונה:$ae^{ax}$

גזירת המכנה: $1$

ועל פי כלל גזירת מנה: $y'={\frac {ae^{ax}(1-x)-e^{ax}}{(1-x)^{2}}}$

נוציא גורם משותף, $y'={\frac {e^{ax}(a-ax+1)}{(1-x)^{2}}}$

נשווה לאפס ונכפיל במונה (חיובי), $e^{ax}(a-ax+1)=0$

מאחר ש-$e^{ax}>0$ ניתן להתעלם מהביטוי.

נקבל $a-ax+1=0$

כלומר ערך ה-$x$ החשוד הינו $x={\frac {a+1}{a}}=1+{\frac {1}{a}}$

נמצא נגזרת שנייה עבור הנגזרת $y'={\frac {e^{ax}(a-ax+1)}{(1-x)^{2}}}$.

מכנה : $y(e^{ax}(a-ax+1))'=ae^{ax}(a-ax+1)+e^{ax}*-a$

מונה: חיובי תמיד ולכן אין צורך ממשי לגזור אותו, נסמן אותו ב-$+$.

הנגזרת המתקבלת ${\frac {e^{ax}(1-ax)(+)-e^{ax}(a-ax+1)(+)}{(+)}}$

נציב את ערך ה-$x$ החשוד ונקבל, $y''={\frac {e^{a*{\frac {a+1}{a}}}(1-a*{\frac {a+1}{a}})(+)-e^{a*{\frac {a+1}{a}}}(a-a*{\frac {a+1}{a}}+1)(+)}{(+)}}$

נצמצם, $y''={\frac {e^{a+1}(-a)(+)-e^{a+1}(0)(+)}{(+)}}$

הביטוי $e^{a+1}>0$ ולכן הנגזרת שלילית. לפיכך, יש לנו נקודת מקסימום.

נמצא את ערך ה-$y$ ונקבל $y={\frac {e^{1+a}}{1-1-{\frac {1}{a}}}}=-ae^{1+a}$.

סעיף ג

אסיפטוטה אנכית: $x=1$

בדיקה שלא מדובר בחור עבור הפונקציה $y={\frac {e^{ax}}{1-x}}={\frac {e^{a}}{1-1}}$ מאחר שאין ביטוי המאפס את $e^{ax}$, הגבול החשוד אסימפטוטה.

אסיפטוטה אופקית:

נציב $lim_{x\rightarrow \infty }$ ונקבל $y={\frac {e^{a\infty }}{1-\infty }}={\frac {big}{small}}$ ועל כן אין אסימפטוטה.

נציב $lim_{x\rightarrow -\infty }$ ונקבל $y={\frac {e^{-a\infty }}{1+\infty }}={\frac {1+\infty }{e^{-a\infty }}}={\frac {small}{big}}=0$

סעיף ה=

הערכים בהם לא יכולים להיות חיתוך בין ישר לפונקציה הינם הערכים בתחום $-ae^{1+a}<k\leq 0$ בשל האסימפטוטה ונקודת קיצון כפי שניתן לראות בסרטוט.