נכתוב את
z
1
,
z
2
{\displaystyle \ z_{1},z_{2}}
z
1
=
a
+
b
i
,
z
2
=
c
+
d
i
{\displaystyle \ z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di}
b
≠
0
,
d
≠
0
{\displaystyle \ b\neq 0,d\neq 0}
על פי חוקי החיבור והכפל של מספרים מרוכבים נקבל:
z
1
+
z
2
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \ z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)i}
z
1
⋅
z
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
{\displaystyle \ z_{1}\cdot z_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i}
נתון ש-
z
1
+
z
2
{\displaystyle \ z_{1}+z_{2}}
z
1
⋅
z
2
{\displaystyle \ z_{1}\cdot z_{2}}
b
+
d
=
0
{\displaystyle \ b+d=0}
a
d
+
b
c
=
0
{\displaystyle \ ad+bc=0}
מהמשוואה הראשונה נסיק:
b
=
−
d
{\displaystyle \ b=-d}
נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:
a
d
−
c
d
=
0
{\displaystyle \ ad-cd=0}
כלומר:
(
a
−
c
)
d
=
0
{\displaystyle \ (a-c)d=0}
כדי שמשוואה זו תתקיים, או ש-
d
=
0
{\displaystyle \ d=0}
a
−
c
=
0
{\displaystyle \ a-c=0}
d
≠
0
{\displaystyle \ d\neq 0}
a
−
c
=
0
{\displaystyle \ a-c=0}
a
=
c
{\displaystyle \ a=c}
נסכם: קיבלנו
a
=
c
,
b
=
−
d
{\displaystyle \ a=c,b=-d}
z
1
=
a
+
b
i
,
z
2
=
a
−
b
i
{\displaystyle \ z_{1}=a+bi,z_{2}=a-bi}
z
1
=
z
2
¯
{\displaystyle \ z_{1}={\overline {z_{2}}}}
ידוע לנו האיבר הראשון בסדרה:
a
1
=
−
i
{\displaystyle \ a_{1}=-i}
q
{\displaystyle \ q}
a
9
{\displaystyle \ a_{9}}
a
n
=
a
1
⋅
q
n
−
1
{\displaystyle \ a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}
נקבל:
1
−
i
−
i
⋅
i
i
=
(
1
−
i
)
i
−
i
2
=
i
−
i
2
−
(
−
1
)
=
i
−
(
−
1
)
1
=
i
+
1
{\displaystyle \ {\frac {1-i}{-i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {(1-i)i}{-i^{2}}}={\frac {i-i^{2}}{-(-1)}}={\frac {i-(-1)}{1}}=i+1}
לצורך בדיקה אפשר לוודא ש-
a
2
⋅
q
=
a
3
{\displaystyle \ a_{2}\cdot q=a_{3}}
(
1
−
i
)
(
1
+
i
)
=
1
−
i
2
=
2
{\displaystyle \ (1-i)(1+i)=1-i^{2}=2}
על פי הגדרת סדרה הנדסית,
q
=
a
2
a
1
=
1
−
i
−
i
{\displaystyle \ q={\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {1-i}{-i}}}
i
{\displaystyle \ i}
נקבל:
1
−
i
−
i
⋅
i
i
=
(
1
−
i
)
i
−
i
2
=
i
−
i
2
−
(
−
1
)
=
i
−
(
−
1
)
1
=
i
+
1
{\displaystyle \ {\frac {1-i}{-i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {(1-i)i}{-i^{2}}}={\frac {i-i^{2}}{-(-1)}}={\frac {i-(-1)}{1}}=i+1}
לצורך בדיקה אפשר לוודא ש-
a
2
⋅
q
=
a
3
{\displaystyle \ a_{2}\cdot q=a_{3}}
(
1
−
i
)
(
1
+
i
)
=
1
−
i
2
=
2
{\displaystyle \ (1-i)(1+i)=1-i^{2}=2}
אם נציב
n
=
9
{\displaystyle \ n=9}
a
n
=
a
1
⋅
q
n
−
1
{\displaystyle \ a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}
q
8
{\displaystyle \ q^{8}}
q
{\displaystyle \ q}
הערך המוחלט של
q
{\displaystyle \ q}
|
q
|
=
a
2
+
b
2
=
1
2
+
1
2
=
2
{\displaystyle \ |q|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}
והארגומנט הוא:
θ
=
tan
−
1
(
b
a
)
=
tan
−
1
(
1
1
)
=
tan
−
1
(
1
)
=
45
∘
{\displaystyle \ \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{1}}\right)=\tan ^{-1}(1)=45^{\circ }}
כלומר, קיבלנו
q
=
2
⋅
c
i
s
(
45
∘
)
{\displaystyle \ q={\sqrt {2}}\cdot \mathrm {cis} (45^{\circ })}
על פי נוסחת דה-מואבר נקבל:
q
8
=
2
8
⋅
c
i
s
(
45
∘
⋅
8
)
=
2
4
⋅
c
i
s
(
360
∘
)
=
16
⋅
c
i
r
c
(
0
∘
)
{\displaystyle \ q^{8}={\sqrt {2}}^{8}\cdot \mathrm {cis} (45^{\circ }\cdot 8)=2^{4}\cdot \mathrm {cis} (360^{\circ })=16\cdot \mathrm {circ} (0^{\circ })}
כלומר, קיבלנו
q
8
=
16
{\displaystyle \ q^{8}=16}
לכן
a
9
=
a
1
⋅
q
8
=
−
i
⋅
16
=
−
16
i
{\displaystyle \ a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}=-i\cdot 16=-16i}
