תחום ההגדרה כאן מושפע מגורם יחיד: אם יש לנו לוגריתם, הערך שהוא מקבל חייב להיות גדול מאפס. כלומר, אם יש לנו
log
(
a
)
{\displaystyle \ \log(a)}
a
>
0
{\displaystyle \ a>0}
על כן, אנו רוצים לדעת באיזה תחום ערכי
x
{\displaystyle \ x}
2
x
2
−
3
x
+
1
>
0
{\displaystyle \ 2x^{2}-3x+1>0}
log
1
/
2
(
2
x
2
−
3
x
+
1
)
>
0
{\displaystyle \ \log _{1/2}(2x^{2}-3x+1)>0}
המשוואה הראשונה היא אי שוויון סטנדרטי. כדי לפתור אותו נפתור ראשית את השוויון המתאים, ונקבל:
x
1
,
2
=
3
±
9
−
8
4
=
3
±
1
4
{\displaystyle \ x_{1,2}={\frac {3\pm {\sqrt {9-8}}}{4}}={\frac {3\pm 1}{4}}}
קיבלנו את הפתרונות
x
1
=
1
,
x
2
=
1
2
{\displaystyle \ x_{1}=1,x_{2}={\frac {1}{2}}}
מכיוון שהמקדם של
x
{\displaystyle \ x}
x
<
1
2
{\displaystyle \ x<{\frac {1}{2}}}
x
>
1
{\displaystyle \ x>1}
נעבור כעת לאי השוויון השני. מכיוון שבסיס הלוגריתם קטן מ-1, הרי שערכו של הלוגריתם גדול מאפס רק עבור ערכים שהם קטנים מ-1. לכן נקבל את אי השוויון הבא:
2
x
2
−
3
x
+
1
<
1
{\displaystyle \ 2x^{2}-3x+1<1}
ועל ידי העברת אגפים נקבל:
2
x
2
−
3
x
<
0
{\displaystyle \ 2x^{2}-3x<0}
גם כאן יש לנו פרבולה "צוחקת", אך יותר קל למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר
x
{\displaystyle \ x}
x
(
2
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle \ x(2x-3)=0}
שפתרונותיה הם
x
1
=
0
,
x
2
=
3
2
{\displaystyle \ x_{1}=0,x_{2}={\frac {3}{2}}}
ואלו נקודות החיתוך. כלומר, התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא
0
<
x
<
3
2
{\displaystyle \ 0<x<{\frac {3}{2}}}
משני התנאים שמצאנו נקבל כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
0
<
x
<
1
2
{\displaystyle \ 0<x<{\frac {1}{2}}}
וגם
1
<
x
<
3
2
{\displaystyle \ 1<x<{\frac {3}{2}}}
כדי לפתור את המשוואה אנחנו רוצים להביא את שני הלוגריתמים לבסיס משותף שיהיה נוח לעבוד איתו. מכיוון שאחד הלוגריתמים כבר בבסיס 4, נעביר את השני לאותו בסיס באמצעות הנוסחה
log
a
(
y
)
=
l
o
g
b
(
y
)
log
b
(
a
)
{\displaystyle \ \log _{a}(y)={\frac {log_{b}(y)}{\log _{b}(a)}}}
a
=
x
{\displaystyle \ a=x}
y
=
64
{\displaystyle \ y=64}
b
=
4
{\displaystyle \ b=4}
log
x
(
64
)
=
log
4
(
64
)
log
4
(
x
)
=
3
log
4
(
x
)
{\displaystyle \ \log _{x}(64)={\frac {\log _{4}(64)}{\log _{4}(x)}}={\frac {3}{\log _{4}(x)}}}
כמו כן, על פי חוקי הלוגריתמים נקבל מהאיבר הראשון בסכום:
log
4
(
8
x
)
=
log
4
(
x
)
+
log
4
(
4
)
+
log
4
(
2
)
=
log
4
(
x
)
+
1
+
1
2
=
log
4
(
x
)
+
3
2
{\displaystyle \ \log _{4}(8x)=\log _{4}(x)+\log _{4}(4)+\log _{4}(2)=\log _{4}(x)+1+{\frac {1}{2}}=\log _{4}(x)+{\frac {3}{2}}}
נסמן
t
=
log
4
(
x
)
{\displaystyle \ t=\log _{4}(x)}
t
+
3
2
+
3
t
=
5
{\displaystyle \ t+{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{t}}=5}
נכפול ב-
t
{\displaystyle \ t}
t
2
−
7
2
t
+
3
=
0
{\displaystyle \ t^{2}-{\frac {7}{2}}t+3=0}
ובכתיבה אחרת:
2
t
2
−
7
t
+
6
=
0
{\displaystyle \ 2t^{2}-7t+6=0}
נפתור את המשוואה ונקבל:
t
1
,
2
=
7
±
49
−
48
4
=
7
±
1
4
{\displaystyle \ t_{1,2}={\frac {7\pm {\sqrt {49-48}}}{4}}={\frac {7\pm 1}{4}}}
קיבלנו שני פתרונות:
t
1
=
2
,
t
2
=
3
2
{\displaystyle \ t_{1}=2,t_{2}={\frac {3}{2}}}
עבור הפתרון הראשון נקבל:
log
4
(
x
)
=
2
{\displaystyle \ \log _{4}(x)=2}
כלומר
x
=
4
2
=
16
{\displaystyle \ x=4^{2}=16}
עבור הפתרון השני נקבל:
log
4
(
x
)
=
3
2
{\displaystyle \ \log _{4}(x)={\frac {3}{2}}}
כלומר:
x
=
4
3
/
2
=
4
3
=
64
=
±
8
{\displaystyle \ x=4^{3/2}={\sqrt {4^{3}}}={\sqrt {64}}=\pm 8}
ומכיוון ש-
x
{\displaystyle \ x}
לסיכום, קיבלנו:
x
1
=
8
,
x
2
=
16
{\displaystyle \ x_{1}=8,x_{2}=16}
