טוען את הטאבים...
תרגיל
מעיר A יצאה מכונית א' לכיוון עיר B. 6 שעות לאחר מכן יצאה מעיר B מכונית ב' לכיוון עיר A. שתי המכוניות נפגשו בדרך.
מצא את מרחק שעברה מכונית ב' עד שהגיעה לנקודת הפגישה.
מצא את המהירות של מכונית א' ואת המהירות של מכונית ב'.
נושאים
בעיות תנועה
מקור
[1] [2]
1
90%
#AAAAAA
center
נסמן בתור
v
A
,
v
B
{\displaystyle \ v_{A},v_{B}}
נסמן בתור
d
A
,
d
B
{\displaystyle \ d_{A},d_{B}}
d
B
{\displaystyle \ d_{B}}
נסמן בתור
t
{\displaystyle \ t}
מנתוני השאלה ידוע כי:
d
A
=
d
B
+
120
{\displaystyle \ d_{A}=d_{B}+120}
כמו כן, מכיוון שהמרחק שעוברת מכונית ב' החל מנקודת הפגישה הוא בדיוק המרחק שעברה מכונית א' עד נקודת הפגישה, נובע ש:
d
A
=
8
⋅
v
B
=
t
⋅
v
A
{\displaystyle \ d_{A}=8\cdot v_{B}=t\cdot v_{A}}
ובאותו האופן:
d
B
=
9
⋅
v
A
=
(
t
−
6
)
⋅
v
B
{\displaystyle \ d_{B}=9\cdot v_{A}=(t-6)\cdot v_{B}}
נחלץ את
t
{\displaystyle \ t}
t
=
9
v
A
v
B
+
6
=
8
v
B
v
A
{\displaystyle \ t=9{\frac {v_{A}}{v_{B}}}+6=8{\frac {v_{B}}{v_{A}}}}
נסמן
x
=
v
B
v
A
{\displaystyle \ x={\frac {v_{B}}{v_{A}}}}
8
x
−
6
−
9
x
−
1
=
0
{\displaystyle \ 8x-6-9x^{-1}=0}
נכפול ב-
x
{\displaystyle \ x}
8
x
2
−
6
x
−
9
=
0
{\displaystyle \ 8x^{2}-6x-9=0}
נפתור את המשוואה ונקבל:
x
1
,
2
=
6
±
36
+
288
16
=
6
±
18
16
{\displaystyle \ x_{1,2}={\frac {6\pm {\sqrt {36+288}}}{16}}={\frac {6\pm 18}{16}}}
נקבל את שני הפתרונות:
x
1
=
3
2
,
x
2
=
−
3
4
{\displaystyle \ x_{1}={\frac {3}{2}},x_{2}=-{\frac {3}{4}}}
הפתרון השני אינו מתאים לתנאי השאלה (כי המהירויות חיוביות, ולכן גם מנתן חיובית), ולכן קיבלנו
v
B
v
A
=
3
2
{\displaystyle \ {\frac {v_{B}}{v_{A}}}={\frac {3}{2}}}
כעת, נקבל:
d
B
d
A
=
9
⋅
v
A
8
⋅
v
B
=
9
8
⋅
2
3
=
3
4
{\displaystyle \ {\frac {d_{B}}{d_{A}}}={\frac {9\cdot v_{A}}{8\cdot v_{B}}}={\frac {9}{8}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {3}{4}}}
לכן נקבל:
4
⋅
d
B
=
3
⋅
d
A
=
3
⋅
(
d
B
+
120
)
=
3
d
B
+
360
{\displaystyle \ 4\cdot d_{B}=3\cdot d_{A}=3\cdot (d_{B}+120)=3d_{B}+360}
ועל ידי העברת אגף נקבל את הפתרון:
d
B
=
360
{\displaystyle \ d_{B}=360}
כפי שכבר ראינו,
d
B
=
9
⋅
v
A
{\displaystyle \ d_{B}=9\cdot v_{A}}
d
B
=
360
{\displaystyle \ d_{B}=360}
v
A
=
40
{\displaystyle \ v_{A}=40}
ומכיוון ש-
v
B
=
3
2
v
A
{\displaystyle \ v_{B}={\frac {3}{2}}v_{A}}
v
B
=
3
2
⋅
40
=
60
{\displaystyle \ v_{B}={\frac {3}{2}}\cdot 40=60}
