תרגיל מאתגר
עריכה
נבצע גזירה לפונקציה
f
(
x
)
=
c
o
s
(
x
2
−
2
x
)
{\displaystyle \ f(x)=cos(x^{2}-2x)}
פונקציה מורכבת :
u
∗
v
=
v
′
∗
u
∗
u
′
{\displaystyle \ u*v=v'*u*u'}
−
s
i
n
(
x
2
−
2
x
)
∗
(
2
x
−
2
)
{\displaystyle \ -sin(x^{2}-2x)*(2x-2)}
−
s
i
n
(
x
2
−
2
x
)
∗
(
2
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle \ -sin(x^{2}-2x)*(2x-2)=0}
שלב א', אפשר להיפטר מגורם אחד משוואה
2
x
−
2
=
0
{\displaystyle \ 2x-2=0}
x
=
1
{\displaystyle \ x=1}
שלב ב', ברצוננו להיפתר מסינוס, נוכל לבצע זאת על ידי הפיכת ה-
0
{\displaystyle \ 0}
פתרון היחודי של פונקציות סינוס
s
i
n
π
=
0
{\displaystyle \ sin\pi =0}
s
i
n
(
x
2
−
2
x
)
=
sin
π
/
:
s
i
n
x
2
−
2
x
=
π
∗
k
/
−
π
∗
k
x
2
−
2
x
−
π
∗
k
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&sin(x^{2}-2x)=\sin \pi /:sin\\&x^{2}-2x=\pi *k/-\pi *k\\&x^{2}-2x-\pi *k=0\\\end{aligned}}}
נוציא שורש ריבועי :
x
2
−
2
x
−
π
∗
k
=
0
a
=
1
,
b
=
−
2
,
c
=
π
∗
k
2
±
(
−
2
)
2
−
4
∗
(
−
π
∗
k
)
2
∗
1
2
±
4
+
4
∗
π
∗
k
2
∗
1
2
±
4
∗
1
+
π
∗
k
2
∗
1
x
2
,
3
=
1
±
1
+
π
∗
k
{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}-2x-\pi *k=0\\&a=1,b=-2,c=\pi *k\\&{\frac {2\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4*(-\pi *k)}}}{2*1}}\\&{\frac {2\pm {\sqrt {4+4*\pi *k}}}{2*1}}\\&{\frac {{\color {blue}2}\pm {\color {blue}{\sqrt {4}}}*{\sqrt {1+\pi *k}}}{\color {blue}2*1}}\\&x_{2,3}=1\pm {\sqrt {1+\pi *k}}\\\end{aligned}}}
טבלת k
1
{\displaystyle \ 1}
0
{\displaystyle \ 0}
−
1
{\displaystyle \ -1}
k
{\displaystyle \ k}
3.035
{\displaystyle \ 3.035}
1
+
1
+
π
∗
0
=
2
{\displaystyle \ 1+{\sqrt {1+\pi *0}}=2}
−
1.035
{\displaystyle \ -1.035}
x
2
=
1
+
1
+
π
∗
k
{\displaystyle \ x_{2}=1+{\sqrt {1+\pi *k}}}
−
1.035
{\displaystyle \ -1.035}
1
−
1
−
π
∗
0
=
0
{\displaystyle \ 1-{\sqrt {1-\pi *0}}=0}
3.035
{\displaystyle \ 3.035}
x
3
=
1
−
1
+
π
∗
k
{\displaystyle \ x_{3}=1-{\sqrt {1+\pi *k}}}
הפתרונות בתחום
−
0.5
≤
x
≤
2.5
{\displaystyle \ -0.5\leq x\leq 2.5}
x
2
=
2
{\displaystyle \ x_{2}=2}
x
3
=
0
{\displaystyle \ x_{3}=0}
שלב ג', נסדר את שלושת נקודות הקיצון החשודות בטבלה וכן, גם את נקודות הקצה .[1]
הנגזרת :
−
s
i
n
(
x
2
−
2
x
)
∗
(
2
x
−
2
)
{\displaystyle \ -sin(x^{2}-2x)*(2x-2)}
2.5
{\displaystyle \color {blue}2.5}
2.25
{\displaystyle \ 2.25}
2
{\displaystyle \color {blue}2}
1.5
{\displaystyle \ 1.5}
1
{\displaystyle \color {blue}1}
0.5
{\displaystyle \ 0.5}
0
{\displaystyle \color {blue}0}
−
0.25
{\displaystyle \ -0.25}
−
0.5
{\displaystyle \color {blue}-0.5}
x
{\displaystyle \ x}
חשודה
−
{\displaystyle \ -}
חשודה
+
{\displaystyle \ +}
חשודה
−
{\displaystyle \ -}
חשודה
+
{\displaystyle \ +}
חשודה
f
′
(
x
)
{\displaystyle \ f'(x)}
m
i
n
{\displaystyle \ min}
↘
{\displaystyle \searrow }
m
a
x
{\displaystyle \ max}
↗
{\displaystyle \nearrow }
m
i
n
{\displaystyle \ min}
↘
{\displaystyle \searrow }
m
a
x
{\displaystyle \ max}
↗
{\displaystyle \nearrow }
m
i
n
{\displaystyle \ min}
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
שלב ד', נציב בפונקציה
f
(
x
)
=
c
o
s
(
x
2
−
2
x
)
{\displaystyle \ f(x)=cos(x^{2}-2x)}
y
{\displaystyle \ y}
y
(
−
0.5
)
=
c
o
s
(
0.5
2
−
2
∗
0.5
)
=
0.32
⇒
(
−
0.5
,
0.32
)
m
i
n
y
(
0
)
=
c
o
s
(
0
)
=
1
⇒
(
0
,
1
)
m
a
x
y
(
1
)
=
c
o
s
(
1
−
2
)
=
0.54
⇒
(
1
,
0.54
)
m
i
n
y
(
2
)
=
c
o
s
(
2
2
−
4
)
=
1
⇒
(
2
,
1
)
m
a
x
y
(
2.5
)
=
c
o
s
(
2.5
2
−
2
∗
2.5
)
=
0.32
⇒
(
2.5
,
0.32
)
m
i
n
{\displaystyle {\begin{aligned}&y(-0.5)=cos(0.5^{2}-2*0.5)=0.32\Rightarrow (-0.5,0.32)min\\&y(0)=cos(0)=1\Rightarrow (0,1)max\\&y(1)=cos(1-2)=0.54\Rightarrow (1,0.54)min\\&y(2)=cos(2^{2}-4)=1\Rightarrow (2,1)max\\&y(2.5)=cos(2.5^{2}-2*2.5)=0.32\Rightarrow (2.5,0.32)min\\\end{aligned}}}
הערות שוליים
עריכה
^ אם טעיתם בחישוב או שהסתבכתם בו, שמו לב שלהבא תלחצו במחשבון את המספר אותו אתם מציבים למשל
0.25
{\displaystyle \ 0.25}
A
n
s
{\displaystyle \ Ans}
.svg)
