מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תש"ע (ניסוי)/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

שאלה יפה במיוחד!

סעיף א

תת סעיף 1

$P(Win|{\text{Win Prev}})=P$ $P(Lose|{\text{Lose Prev}})=P$

עלינו לחשב את $P({\text{Win Third and Lose Second}}|{\text{Win First}})$

שימו לב כי הסיכוי לניצחון במשחק תלוי בתוצאת המשחק הקודם ובה בלבד.

לכן, הסיכוי לנצח במשחק השני תלוי בתוצאת המשחק הראשון והסיכוי לנצח במשחק השלישי תלויה בתוצאת המשחק השני.

$P({\text{Win Third and Lose Second}}|{\text{Win First}})=P({\text{Lose Second}}|{\text{Win First}})*P({\text{Win Third}}|{\text{Lose Second}})$ $P({\text{Win Third and Lose Second}}|{\text{Win First}})=P(Lose|{\text{Win Prev}})*P(Win|{\text{Lose Prev}})$

תוצאות המשחק הן ניצחון או הפסד ולכן הסתברויותן מסתכמות ל 1.

$P(Lose|{\text{Win Prev}})=1-P(Win|{\text{Win Prev}})=1-P$

$P(Win|{\text{Lose Prev}})=1-P(Lose|{\text{Lose Prev}})=1-P$

$P({\text{Win Third and Lose Second}}|{\text{Win First}})=(1-P)^{2}$

סעיף 2

נתון כי $P({\text{Win Third}}|{\text{Win First}})=13/25$

$P({\text{Win Third}}|{\text{Win First}})=P({\text{Win Third and Lose Second}}|{\text{Win First}})+{\text{Win First}})=P({\text{Win Third and Win Second}}|{\text{Win First}})$

קודם חישבנו כי $P({\text{Win Third and Lose Second}}|{\text{Win First}})=(1-P)^{2}$

$P({\text{Win Third and Win Second}}|{\text{Win First}})=P(Win|WinPrev)^{2}=P^{2}$

$P({\text{Win Third}}|{\text{Win First}})=(1-P)^{2}+P^{2}=13/25$

$(1-P)^{2}+P^{2}=13/25$

$2P^{2}-2P+1=13/25$

$2P^{2}-2P+12/25=0$

פתרונות למשוואה הריבועית $\!\,ax^{2}+bx+c=0$ הם $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

במקרה שלנו $a=2$, $b=-2$, $c=12/25$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {2^{2}-96/25}}}{4}}$

$x_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {4/25}}}{4}}$

$x_{1,2}={\frac {2\pm 2/5}{4}}$

$x_{1,2}={\frac {2\pm 2/5}{4}}$

$x_{1,2}={\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{10}}$

נתון כי $P>{\frac {1}{2}}$

ולכן $P={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}=0.6$

סעיף ב

נתון כי $P({\text{ Wins 3 games}})=P({\text{Wins First}})*P({\text{Wins Second}}|{\text{Wins First}})*P({\text{Wins Third}}|{\text{Wins Second}})$

$P({\text{ Wins 3 games}})=P({\text{Wins First}})*P^{2}=0.144$

בסעיף הקודם חישבנו כי $P=0.6$

$P({\text{ Wins 3 games}})=P({\text{Wins First}})*0.6^{2}=0.144$

$P({\text{Wins First}})=0.144/(0.6^{2})$

$P({\text{Wins First}})=0.4$

העשרה

• פרדוקס מונטי הול