מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035303/תרגיל 3
טוען את הטאבים...
פתרון עריכה
סעיף 1 עריכה
בדיקה נכונות הטענה עבור עריכה
נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי עריכה
נוכיח כי הטענה נכונה עבור עריכה
האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.
סעיף 2 עריכה
עלינו להביע באמצעות את הסכום: .
כיון שהסדרה "זרה לנו" (אין אנו יודעים לחשב ישירות את הסכום שלה), נקשר אותה (נמצא את ההבדל בין הסדרות/קשר/מה חסר כדי שיהיו דומות) אל הסדרה הראשונה:
הספרה 2 מפריעה לנו ולכן "נוציא" אותה מהסדרה. מהסדרה החדשה ניתן להוציא את הספרה . מקבלים: . באמצעות גורם משותף, נקבל את הסדרה הראשונה : . כלומר עלינו למצוא את הסכום של הסדרה הראשונה (יודעים לחשב) ולכפול בארבע.
הסכום אותו עלינו לגלות: מהאבר ועד האבר . כיון שהמספר לא רחוק, נוכל להחסיר ידנית את ולחסוך סעיף של חישוב.
סכום הסדרה עד האבר שווה: (הוכחנו). נחסיר את האברים המיותרים:
נכפיל בארבע ונקבל את ביטוי הסכום של הסדרה החדשה: