נתון כי
P
(
s
u
c
c
e
s
s
)
=
P
(
f
a
i
l
)
+
0.2
{\displaystyle P(success)=P(fail)+0.2}
מכיוון שהאירועים הצלחה וכישלון זרים ומכסים את כל האפשרויות:
P
(
s
u
c
c
e
s
s
)
+
P
(
f
a
i
l
)
=
1
{\displaystyle P(success)+P(fail)=1}
ולכן
P
(
f
a
i
l
)
+
P
(
f
a
i
l
)
+
0.2
=
1
{\displaystyle P(fail)+P(fail)+0.2=1}
2
P
(
f
a
i
l
)
=
0.8
{\displaystyle 2P(fail)=0.8}
P
(
f
a
i
l
)
=
0.4
{\displaystyle P(fail)=0.4}
P
(
s
u
c
c
e
s
s
)
=
P
(
f
a
i
l
)
+
0.2
=
0.4
+
0.2
=
0.6
{\displaystyle P(success)=P(fail)+0.2=0.4+0.2=0.6}
(סכמו את ההסתברויות כדי לוודא שלא נפלה שגיאה בחישוב וקיבלנו 1).
מכיוון שמדובר בארבעה נבחנים אנו דוגמים מהתפלגות ברנולי
B
(
4
,
0.6
)
{\displaystyle B(4,0.6)}
k
=
0
,
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle P\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}}
p
(
2
successes
)
=
(
4
2
)
0.6
2
∗
0.4
2
{\displaystyle p(2{\text{ successes}})={\binom {4}{2}}0.6^{2}*0.4^{2}}
n
!
=
(
n
k
)
⋅
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \ n!={\binom {n}{k}}\cdot k!\cdot (n-k)!}
(
n
k
)
=
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \ {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}
מכאן
(
4
2
)
=
4
!
/
(
2
!
∗
2
!
)
=
(
4
∗
3
∗
2
∗
1
)
/
(
(
2
∗
1
)
∗
(
2
∗
1
)
)
=
6
{\displaystyle {\binom {4}{2}}=4!/(2!*2!)=(4*3*2*1)/((2*1)*(2*1))=6}
p
(
2
successes
)
=
(
4
2
)
0.6
2
∗
0.4
2
=
6
∗
0.0576
=
0.3456
{\displaystyle p(2{\text{ successes}})={\binom {4}{2}}0.6^{2}*0.4^{2}=6*0.0576=0.3456}
הסיכוי למעבר שווה לכל אחד מהנבחנים. מכאן הסיכוי למעברם של של ראובן ושמעון שווה לסיכוי של מעברם של כל שני נבחנים אחרים.
בתת סעיף 1 ראינו כי מספר האפשרויות למעבר של שני נבחנים הוא
(
2
4
)
=
4
!
/
(
2
!
∗
2
!
)
=
(
4
∗
3
∗
2
∗
1
)
/
(
(
2
∗
1
)
∗
(
2
∗
1
)
)
=
6
{\displaystyle {2 \choose 4}=4!/(2!*2!)=(4*3*2*1)/((2*1)*(2*1))=6}
P
(
Reuven and Shimon succeeded
|
2
succeeded
)
=
1
/
6
{\displaystyle P({\text{Reuven and Shimon succeeded}}|2{\text{ succeeded}})=1/6}
יכולנו לענות על הסעיף על ידי חישוב הסיכוי לכל אפשרות.
אבל, כידוע, "מתמטיקה היא מקצוע לעצלנים".
לכן, נענה על השאלה מבלי לטרוח לחשב את שני הסיכויים.
האירועים לפחות אחד עובר ולפחות אחד נכשל נבדלים במקרים
אף אחד לא עובר
אף אחד לא נכשל (כל הארבע עוברים) כל יתר האפשרויות (1, 2,3 עוברים) משותפות ולכן לא ישנו את יחס בין אף אחד לא עובר ואף אחד לא נכשל.
P
(
0
successes
)
=
(
1
4
)
0.6
4
×
0.4
0
{\displaystyle P(0{\text{ successes}})={1 \choose 4}0.6^{4}\times 0.4^{0}}
P
(
4
successes
)
=
(
4
4
)
0.6
0
×
0.4
4
{\displaystyle P(4{\text{ successes}})={4 \choose 4}0.6^{0}\times 0.4^{4}}
n
!
=
(
n
k
)
⋅
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \ n!={\binom {n}{k}}\cdot k!\cdot (n-k)!}
(
n
k
)
=
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \ {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}
נשים לב כי
(
0
4
)
=
4
!
/
(
4
!
∗
1
!
)
=
(
4
4
)
{\displaystyle {0 \choose 4}=4!/(4!*1!)={4 \choose 4}}
מכאן שמספר האפשרויות בכל חישוב זהה.
הסיכוי להצלחה גדול מהסיכוי לכישלון ולכן גם הסיכוי לאירוע הצלחה מסויים (לדוגמה ראובן היחיד שמצליח) גדול מהסיכוי לאירוע כישלון מסויים (ראובן היחיד שנכשל).
לשם המחשה
(
0.6
4
×
0.4
0
)
/
(
0.6
0
×
0.4
4
)
=
0.6
4
/
0.4
4
=
1.5
4
>
1
{\displaystyle (0.6^{4}\times 0.4^{0})/(0.6^{0}\times 0.4^{4})=0.6^{4}/0.4^{4}=1.5^{4}>1}
הסיכוי שכולם יעברו גדול מהסיכוי שכולם יכשלו.
בשל כך הסיכוי שלפחות אחד יצליח גדול מהסיכוי שלפחות אחד יכשל.
