מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ מועד א, תשע"ו/035806/תרגיל 2

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה סדרה חשבונית $a_{n}$ המקיימת $a_{4}+a_{8}+a_{1}2+a_{1}6=224$ מצא את הסכום של 19 האיברים הראשונים בסדרה $a_{n}$ הסדרה $s_{n}$ היא סדרת הסכומים של הסדרה $a_{n}$ $S_{1},S_{2},S_{3}...$ נתון כי $s_{n}=n*a_{n}$ לכל $n$ טבעי. הראה כי הפרש הסדרה $a_{n}$ הוא 0. היעזר בסעיפים הקודמים ומצא את $a_{1}$. נתונה סדרה $b_{n}$ המקיימת את הכלל $b_{n+1}-b_{n}=a_{n}+S_{n}$ לכל $n$ טבעי. היעזר בסעיפים הקודמים ומצא את הסכום $(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+(b_{4}-b_{3})+...+(b_{2}0-b-19)$
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף א

נתון $a_{4}+a_{8}+a_{1}2+a_{1}6=224$

תחילה נפט את הנתונים: ${\begin{cases}a_{4}=a_{1}+3da_{8}=a_{1}+7da_{1}2=a_{1}+11da_{1}6=a_{1}+15d\end{cases}}$

נציב ונקבל $a_{1}+3d+a_{1}+7d+a_{1}+11d+a_{1}+15d=224$

נצמצם: $4a_{1}+36d=224$

נחלק: $a_{1}+9d=56$

נוסחה למציאת סכום סדרה חשבונית: $S_{n}={\frac {n\left[2a_{1}+(n-1)d\right]}{2}}$

הסכום המבוקש: $S_{19}={\frac {19[2a_{1}+d(19-1)]}{2}}$

$S_{19}={\frac {19[2a_{1}+18d]}{2}}$

$S_{19}={\frac {19*2[a_{1}+9d]}{2}}$

נציב את הנתון : $a_{1}+9d=56$ ונקבל $S_{19}={\frac {19*2*56}{2}}$

נצמצם: $S_{19}=19*56=1064$

סעיף ב

על פי הנתון מסעיף א': $a_{1}+9d=56$ נקבל כי $a_{10}=56$ ואילו $a_{1}=56-9d$

על פי הנתונים: $s_{1}0=10*a_{1}0=10*56=560$

נציב בנוסחה למציאת סכום סדרה חשבונית: $S_{10}={\frac {10\left[2a_{1}+9d\right]}{2}}$

$S_{10}=5[2a_{1}+9d]=560$ נציב את $a_{1}$ ונקבל : $5[2(56-9d)+9d]=560$

נצמצם: $2(56-9d)+9d=112$

נפתח סוגרים : $112-18d+9d=112$

נכנס אברים: $9d=0$

$d=0$

סעיף ג

$a_{1}=56-9d$ נציב $d=0$ ונקבל $a_{1}=56-9*=56$

סעיף ד

נתון:$b_{n+1}-b_{n}=a_{n}+S_{n}$ ועל כן $b_{2}-b_{1}=a_{1}+s1$ וכן הלאה.

במילים אחרות ניתן במקום $(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+(b_{4}-b_{3})+...+(b_{2}0-b-19)$ למצוא את $(a_{1}+s1)+(a_{2}+s2)...+(a_{1}9+s_{19})$

אם נבודד את האיברים והסכומים נקבל כי עלינו לחשב:$(a_{1}+a_{2}+...+a_{1}9)+(s_{1}+s_{2}+...+s_{19})$

במקום $(a_{1}+a_{2}+...+a_{1}9)$ נוכל למצוא את סכום האברים עד המספר 19 כלומר $S_{19}$ כלומר $S_{19}+(s_{1}+s_{2}+...+s_{19})$

סכום האיבר ה-19: $S_{n}={\frac {n\left[2a_{1}+(n-1)d\right]}{2}}$ דהינו $S_{19}={\frac {19\left[2a_{1}+(19-1)0\right]}{2}}={\frac {19*2a_{1}}{2}}=19a_{1}$

עד כה מצאנו את הסכום $19a_{1}+(s_{1}+s_{2}+...+s_{19})$

על פי הנתונים: $s_{n}=n*a_{n}$. נציב את האיבר הכללי $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. מאחר ו-$d=0$ נקבל $s_{n}=n*a_{1}$. אנו רוצים למצוא את כל הסכומים עד 19 דהינו $1*a_{1}+2*a_{1}+3*a_{1}+...+19a_{1}=a_{1}(1+2+3+...+19)$

כלומר $19a_{1}+n*a_{1}(1+2+3+...+19)$

נחשב את סכום הסדרה $1+2+...+19$ באמצעות נוסחת הסכום: $S_{19}={\frac {19\left[2*1+(19-1)1\right]}{2}}=190$

נציב את הנתון ונקבל $19a_{1}+n*190a_{1}$ דהינו $209a_{1}$

נציב את $a_{1}=56$ מסעיף ג' ונקבל $209*56=11704$