טוען את הטאבים...
1
תרגיל
(תוכן)
נושא
(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור
(קישור למסמך המקורי)
תרגיל
(תוכן)
נושא
(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור
(קישור למסמך המקורי)
90%
#AAAAAA
center
נתונה הפונקציה
f
(
x
)
=
a
x
3
+
2
a
x
x
4
+
4
x
2
+
4
{\displaystyle f(x)={\frac {ax^{3}+2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}}
תחום ההגדרה הוא
x
4
+
4
x
2
+
4
>
0
{\displaystyle x^{4}+4x^{2}+4>0}
בשל השורש.
על כן
(
x
2
+
2
)
(
x
2
+
2
)
>
0
{\displaystyle (x^{2}+2)(x^{2}+2)>0}
x
2
>
−
2
{\displaystyle x^{2}>-2}
ולכן הפתרון הוא "לכל
x
{\displaystyle x}
".
∫
a
x
3
+
2
a
x
x
4
+
4
x
2
+
4
d
x
{\displaystyle \int {\frac {ax^{3}+2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}dx}
נוציא את הקבוע:
a
∫
x
3
+
2
x
x
4
+
4
x
2
+
4
d
x
{\displaystyle a\int {\frac {x^{3}+2x}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}dx}
נעזר בשיטת ההצבה ונגדיר:
t
=
x
4
+
4
x
2
+
4
{\displaystyle t=x^{4}+4x^{2}+4}
נמצא את f' עבור
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
ונקבל :
f
′
t
=
(
4
x
3
+
8
x
)
{\displaystyle f't=(4x^{3}+8x)}
נציב בנוסחה
d
y
d
x
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}}
ונקבל
d
t
d
x
=
(
4
x
3
+
8
x
)
{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=(4x^{3}+8x)}
נבודד את dx:
d
t
4
x
3
+
8
x
=
d
x
{\displaystyle {\frac {dt}{4x^{3}+8x}}=dx}
נציב את t, dt בפונקציה
a
∫
x
3
+
2
x
u
∗
d
u
4
x
3
+
8
x
{\displaystyle a\int {\frac {x^{3}+2x}{\sqrt {u}}}*{\frac {du}{4x^{3}+8x}}}
נוציא גורם משותף:
a
∫
x
3
+
2
x
u
∗
d
u
4
(
x
3
+
2
)
x
{\displaystyle a\int {\frac {x^{3}+2x}{\sqrt {u}}}*{\frac {du}{4(x^{3}+2)x}}}
נצמצם
a
4
∫
1
t
∗
d
u
4
{\displaystyle {\frac {a}{4}}\int {\frac {1}{\sqrt {t}}}*{\frac {du}{4}}}
נוציא קבוע:
a
4
∫
1
t
∗
d
u
{\displaystyle {\frac {a}{4}}\int {\frac {1}{\sqrt {t}}}*du}
נבצע אינטגרציה:
a
4
t
−
1
2
+
1
=
1
2
1
2
+
c
|
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{4}}{\frac {t^{{\frac {-1}{2}}+1={\frac {1}{2}}}}{\frac {1}{2}}}+c{\bigg |}_{a}^{b}}
(נעזרנו בחוקי חזקות לפיהם
1
t
=
t
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{t}}=t^{-1}}
)
נקבל
a
4
t
1
2
1
2
+
c
|
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{4}}{\frac {t^{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}+c{\bigg |}_{a}^{b}}
כלומר
a
4
∗
2
t
+
c
|
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{4}}*{2{\sqrt {t}}}+c{\bigg |}_{a}^{b}}
לסיכום
a
2
∗
t
+
c
|
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{2}}*{\sqrt {t}}+c{\bigg |}_{a}^{b}}
נציב את t:
a
2
∗
x
4
+
4
x
2
+
4
+
c
|
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{2}}*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}+c{\bigg |}_{a}^{b}}
שטח האינטגרל שווה ארבע (נתון) בתחום:
a
2
∗
x
4
+
4
x
2
+
4
|
−
1
1
=
4
{\displaystyle {\frac {a}{2}}*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}{\bigg |}_{-1}^{1}=4}
מאחר שהפונקציה שלנו היא אי זוגית ואיננו רוצים לבטל את שטחים של הפונקציה זה בזה, לא נבצע אינטגרל בתחום
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle {\displaystyle -1<x<1}}
אלא בתחומים
0
<
x
<
1
{\displaystyle {\displaystyle 0<x<1}}
וגם
0
<
x
<
−
1
{\displaystyle {\displaystyle 0<x<-1}}
או לחילופין מאחר והשטחים זהים נכפיל בשתים את אחד השטחים:
2
∗
a
2
∗
t
+
c
|
0
1
{\displaystyle 2*{\frac {a}{2}}*{\sqrt {t}}+c{\bigg |}_{0}^{1}}
נציב את התחום:
2
∗
[
a
2
∗
(
1
+
4
+
4
)
−
(
0
+
4
]
=
4
{\displaystyle 2*[{\frac {a}{2}}*{\sqrt {(1+4+4)}}-{\sqrt {(0+4}}]=4}
נצמצם
[
a
∗
(
3
−
2
)
]
=
4
{\displaystyle [a*(3-2)]=4}
נקבל
a
=
4
{\displaystyle a=4}
נתון
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
פונקציה קדומה.
f
(
x
)
=
4
x
3
+
8
x
x
4
+
4
x
2
+
4
{\displaystyle f(x)={\frac {4x^{3}+8x}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}}
נמצא את
g
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle g(x)=\int f(x)dx}
. ביצענו את האינטגרל בסעיף הקודם:
a
2
∗
x
4
+
4
x
2
+
4
+
c
|
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{2}}*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}+c{\bigg |}_{a}^{b}}
g
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
2
∗
x
4
+
4
x
2
+
4
+
c
=
2
∗
(
x
2
+
2
)
2
+
c
=
2
∗
(
x
2
+
2
)
+
c
=
2
x
2
+
4
+
c
{\displaystyle g(x)=\int f(x)dx=2*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}+c=2*{\sqrt {(x^{2}+2)^{2}}}+c=2*{(x^{2}+2)}+c=2x^{2}+4+c}
נמצא את
C
{\displaystyle C}
:
הפונקציה והנגזרת עוברות בנקודה
x
=
0
{\displaystyle x=0}
נמצא את ערך הנקודה באמצעות הנגזרת
f
(
0
)
=
4
∗
0
3
+
8
∗
0
0
4
+
4
∗
0
2
+
4
=
0
{\displaystyle f(0)={\frac {4*0^{3}+8*0}{\sqrt {0^{4}+4*0^{2}+4}}}=0}
נציב את ערכי הנקודה בפונקציה הקדומה ונקבל
2
∗
0
2
+
4
+
c
=
0
{\displaystyle 2*0^{2}+4+c=0}
דהינו
c
=
−
4
{\displaystyle c=-4}
נציב את ערך הקבוע בפונקציה הקדומה ונקבל את ערכה המדויק:
2
x
2
+
4
−
4
=
2
x
2
{\displaystyle 2x^{2}+4-4=2x^{2}}
הוכחנו את המתבקש.
g
(
x
)
=
2
x
2
{\displaystyle g(x)=2x^{2}}
f
(
x
)
=
2
x
3
+
8
x
(
x
2
+
2
)
2
=
4
x
(
x
2
+
2
)
(
x
2
+
2
)
2
=
4
x
{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}+8x}{\sqrt {(x^{2}+2)^{2}}}}={\frac {4x(x^{2}+2)}{(x^{2}+2)^{2}}}=4x}
נמצא מתי
f
(
x
)
>
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)>g(x)}
באמצעות נקודות החיתוך:
4
x
>
2
x
2
{\displaystyle 4x>2x^{2}}
2
x
2
−
4
x
<
0
{\displaystyle 2x^{2}-4x<0}
2
x
2
−
4
x
=
0
{\displaystyle 2x^{2}-4x=0}
2
x
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle 2x(x-2)=0}
x
=
0
,
x
=
2
{\displaystyle x=0,x=2}
נפתור את אי השיוויון הריבועי באמצעות בנית ציר ונראה כי הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה-x בערכים
0
<
x
<
2
{\displaystyle 0<x<2}