מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/אלגברה 4 ו-5 יחידות לימוד/עמוד 282 סעיף 10

טוען את הטאבים...

תרגיל

סכום האיברים הרביעי והשביעי בסדרה חשבונית הוא 25. סכום האיברים החמישי והתשיעי בסדרה זו הוא 34.

נושא

סדרה חשבונית - איברים סמוכים

פתרונות

$a_{4}+a_{7}=a_{1}+3d+a_{1}+6d=25$

$a_{5}+a_{9}=a_{1}+4d+a_{1}+8d=34$

נחסיר את המערכות זו מזו ונקבל :

$3d=9$

$d=3$

על פי המשוואה השניה (לאחר צמצומה): $a_{1}+6d=17$

נציב: $a_{1}+18=17$

נקבל $a_{1}=-1$

סעיף ב: שתי דרכים לפתור את התרגיל:

הדרך הארוכה היא

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d=-1+(n-1)3=-4+3n$

$a_{n+1}=a_{1}+(n+1-1)d=-1+3n$

חיבור המערכות והשוואותו ל-79 יתן לנו את מיקום האיבר שסכומו 79 (דהינו $n=14$ ) אותו נצטרך להציב ולמצוא את ערכו.

הדרך הקצרה היא למצוא מידית את ערכי האיברים על ידי ההפרש בניהם:

$a_{n}+a_{n+1}=79$

$a_{n}+a_{n}+d=79$

$2a_{n}+3=79$

$2a_{n}=76$

$a_{n}=38$

$a_{n+1}=38+3=41$

1