{ ( x + y ) 2 − 12 ( x + y ) = − 35 x y = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}&(x+y)^{2}-12(x+y)=-35\\&xy=6\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
פתרון משוואה ריבועית באמצעות סימון
נסמן t = ( x + y ) {\displaystyle \ t=(x+y)} ונקבל : ( x + y ) 2 − 12 ( x + y ) + 35 = 0 t 2 − 5 t + 4 = 0 ( x − 5 ) ( x − 7 ) { t 1 = 7 t 2 = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&(x+y)^{2}-12(x+y)+35=0\\&t^{2}-5t+4=0\\&(x-5)(x-7)\\&{\begin{cases}&t_{1}=7\\&t_{2}=5\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
נעזר במשוואה השניה ונבודד את אחד הנעלמים :
x y = 6 y = 6 x {\displaystyle {\begin{aligned}&xy=6\\&y={\frac {6}{x}}\\\end{aligned}}}
נציב במשוואת הסימון ( t {\displaystyle \ t} ) : t = x − y t = x − 6 x {\displaystyle {\begin{aligned}&t=x-y\\&t=x-{\frac {6}{x}}\\\end{aligned}}}
נציב במשוואת הפתרון הראשונה ( t 1 {\displaystyle \ t_{1}} ) :
t 1 = 4 x + 6 x = 7 x 2 + 6 = 7 x x 2 − 7 x + 6 = 0 ( x − 1 ) ( x − 6 ) = 0 { x 1 = 1 x 2 = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}&t_{1}=4\\&x+{\frac {6}{x}}=7\\&x^{2}+6=7x\\&x^{2}-7x+6=0\\&(x-1)(x-6)=0\\&{\begin{cases}&x_{1}=1\\&x_{2}=6\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
נמצא את y {\displaystyle \ y} :
x − y = 7 { y 1 = 7 − 1 = 6 y 2 = 7 − 6 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&x-y=7\\&{\begin{cases}&y_{1}=7-1=6\\&y_{2}=7-6=1\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
הנקודות : ( 1 , 6 ) , ( 6 , 1 ) {\displaystyle \ (1,6),(6,1)}
נציב במשוואת הפתרון השניה ( t 2 {\displaystyle \ t_{2}} ) :
t 2 = 5 x + 6 x = 5 x 2 + 6 = 5 x x 2 − 5 x + 6 = 0 ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 { x 1 = 2 x 2 = 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&t_{2}=5\\&x+{\frac {6}{x}}=5\\&x^{2}+6=5x\\&x^{2}-5x+6=0\\&(x-2)(x-3)=0\\&{\begin{cases}&x_{1}=2\\&x_{2}=3\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
נמצא את y {\displaystyle \ y} : x + y = 5 { y 1 = 5 − 2 = 3 y 2 = 5 − 3 = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=5\\&{\begin{cases}&y_{1}=5-2=3\\&y_{2}=5-3=2\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
הנקודות : ( 2 , 3 ) {\displaystyle \ (2,3)} , ( 3 , 2 ) {\displaystyle \ (3,2)}