{ x 2 + y 2 − 5 ( x − y ) = 36 x y = 20 {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}&x^{2}+y^{2}-5(x-y)=36\\&xy=20\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
כפל מקוצר : y 2 + x 2 = ( y − x ) 2 + 2 x y = ( y + x ) 2 − 2 x y {\displaystyle {\begin{aligned}&y^{2}+x^{2}=(y-x)^{2}+2xy=(y+x)^{2}-2xy\end{aligned}}}
פתרון משוואה ריבועית באמצעות סימון
{ x 2 + y 2 − 5 ( x − y ) = 36 x y = 20 ⇒ y 2 + x 2 = ( y − x ) 2 + 2 x y ( y − x ) 2 + 40 ( x − y ) 2 − 5 ( x − y ) + 40 − 36 = 0 ( x − y ) 2 − 5 ( x − y ) + 4 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{cases}&x^{2}+y^{2}-5(x-y)=36\\&xy=20\\\end{cases}}\\&\Rightarrow y^{2}+x^{2}=(y-x)^{2}+2xy\\&(y-x)^{2}+40\\&(x-y)^{2}-5(x-y)+40-36=0\\&(x-y)^{2}-5(x-y)+4=0\\\end{aligned}}}
נסמן t = ( x − y ) {\displaystyle \ t=(x-y)} ונקבל : ( x − y ) 2 − 5 ( x − y ) + 4 = 0 t 2 − 5 t + 4 = 0 5 ± ( − 5 ) 2 − 4 ∗ 1 ∗ 4 2 5 ± 25 − 16 2 5 ± 9 2 t 1 , 2 = 5 ± 3 2 { t 1 = 5 + 3 2 = 4 t 2 = 5 − 3 2 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&(x-y)^{2}-5(x-y)+4=0\\&t^{2}-5t+4=0\\&{\frac {5\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4*1*4}}}{2}}\\&{\frac {5\pm {\sqrt {25-16}}}{2}}\\&{\frac {5\pm {\sqrt {9}}}{2}}\\&t_{1,2}={\frac {5\pm 3}{2}}\\&{\begin{cases}&t_{1}={\frac {5+3}{2}}=4\\&t_{2}={\frac {5-3}{2}}=1\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
שמו לב, מדובר בשני פתרונות אפשריים, לכן, אין אנו מציבים את הפתרונות זה בזה!
נעזר במשוואה השניה ונבודד את אחד הנעלמים :
x y = 20 y = 20 x {\displaystyle {\begin{aligned}&xy=20\\&y={\frac {20}{x}}\\\end{aligned}}}
נציב במשוואת הסימון ( t {\displaystyle \ t} ) : t = x − y t = x − 20 x {\displaystyle {\begin{aligned}&t=x-y\\&t=x-{\frac {20}{x}}\\\end{aligned}}}
נציב במשוואת הפתרון הראשונה ( t 1 {\displaystyle \ t_{1}} ) :
t 1 = 4 x − 20 x = 4 x 2 − 20 = 4 x x 2 − 4 x − 20 = 0 4 ± 16 + 4 ∗ 20 2 4 ± 96 2 4 ± 16 ∗ 6 2 4 ± 4 6 2 x 1 , 2 = 2 ± 2 6 { x 1 = 2 + 2 6 x 2 = 2 − 2 6 {\displaystyle {\begin{aligned}&t_{1}=4\\&x-{\frac {20}{x}}=4\\&x^{2}-20=4x\\&x^{2}-4x-20=0\\&{\frac {4\pm {\sqrt {16+4*20}}}{2}}\\&{\frac {4\pm {\sqrt {96}}}{2}}\\&{\frac {4\pm {\sqrt {16*6}}}{2}}\\&{\frac {4\pm 4{\sqrt {6}}}{2}}\\&x_{1,2}=2\pm 2{\sqrt {6}}\\&{\begin{cases}&x_{1}=2+2{\sqrt {6}}\\&x_{2}=2-2{\sqrt {6}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
נמצא את y {\displaystyle \ y} :
x − y = 4 { y 1 = 2 + 2 6 − 4 = − 2 + 2 6 y 2 = 2 − 2 6 − 4 = − 2 − 2 6 {\displaystyle {\begin{aligned}&x-y=4\\&{\begin{cases}&y_{1}=2+2{\sqrt {6}}-4=-2+2{\sqrt {6}}\\&y_{2}=2-2{\sqrt {6}}-4=-2-2{\sqrt {6}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
הנקודות : ( 2 + 2 6 , − 2 + 2 6 ) {\displaystyle (2+2{\sqrt {6}},-2+2{\sqrt {6}})} , ( 2 − 2 6 , − 2 − 2 6 {\displaystyle 2-2{\sqrt {6}},-2-2{\sqrt {6}}} )
נציב במשוואת הפתרון השניה ( t 2 {\displaystyle \ t_{2}} ) :
t 2 = 1 x − 20 x = 1 x 2 − 20 = x x 2 − x − 20 = 0 ( x + 4 ) ( x − 5 ) = 0 { x 1 = − 4 x 2 = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&t_{2}=1\\&x-{\frac {20}{x}}=1\\&x^{2}-20=x\\&x^{2}-x-20=0\\&(x+4)(x-5)=0\\&{\begin{cases}&x_{1}=-4\\&x_{2}=5\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
נמצא את y {\displaystyle \ y} : x − y = 1 { y 1 = − 4 − 1 = − 5 y 2 = 5 − 1 = 4 {\displaystyle {\begin{aligned}&x-y=1\\&{\begin{cases}&y_{1}=-4-1=-5\\&y_{2}=5-1=4\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
הנקודות : ( − 4 , − 5 ) {\displaystyle \ (-4,-5)} , ( 5 , 4 ) {\displaystyle \ (5,4)}