מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 105 סעיף 5

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {n^{3}+5n}{6}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {n^{3}+5n}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {1^{3}+5}{6}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {k^{3}+5k}{6}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {(k+1)^{3}+5(k+1)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+3k^{2}+3k+1+5k+5}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+5k}{6}}+{\frac {3k^{2}+3k+6}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {3(k^{2}+k+2)}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {k^{2}+k+2}{2}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2}{2}}+{\frac {k(k+1)}{2}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה בגלל שתי הנחות : מכפלת שני מספרים עוקבים היא זוגית וכן גם מספר זוגי חלקי מספר זוגי שווה מספר שלם.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.