מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 105 סעיף 8

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {n(n+1)(2n+7)}{6}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {n(n+1)(2n+7)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {1(1+1)(2+7)}{6}}=\mathbb {Z} \\&3=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\begin{aligned}&{\frac {k(k+1)(2k+7)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k(2k^{2}+9k+7)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {(k+1)(k+2)(2k+7)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {(k^{2}+3k+2)(2k+7)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {(2k^{3}+9k^{2}+6k^{2}+27k+4k+18)}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}}+{\frac {6k^{2}+24k+18}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {6(k^{2}+4k+3)}{6}}=\mathbb {Z} \\&k^{2}+4k+3=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

• הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
• הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ k$ מספר טבעי ולכן הוא שלם וחיובי.
  

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.