מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 23

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {10^{n}-3^{n}}{7}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {10^{n}-3^{n}}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {10^{k}-3^{k}}{7}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {10^{k+1}-3^{k+1}}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{k}*10-3^{k}*3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{k}*(7+3)-3^{k}*3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{k}*3-3^{k}*3}{7}}+{\frac {10^{k}*7}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3(10^{k}-3^{k})}{7}}+\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\&3*\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.
2. הטענה השנייה נכונה ע"פ ההנחה.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.