מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 37

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {6*5^{2n+1}+2^{3n+2}}{34}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {6*5^{2n+1}+2^{3n+2}}{34}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6*5^{2+1}}{+}}2^{3+2}{34}=23\\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {6*5^{2k+1}+2^{3k+2}}{34}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {6*5^{2k+3}+2^{3k+5}}{34}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6*5^{2k+1}*5^{2}+2^{3k+2*2^{3}}}{34}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6*5^{2k+1}*(17+8)+2^{3k+2}*8}{34}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6*5^{2k+1}*8+2^{3k+2}*8}{34}}+{\frac {6*5^{2k+1}*17}{34}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8(6*5^{2k+1}+2^{3k+2})}{34}}+{\frac {6*5^{2k+1}}{2}}=\mathbb {Z} \\&8*\mathbb {Z} +3*5^{2k+1}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.