מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 47

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

הוכחה ראשונה

${\frac {7^{n}+4^{n}+7}{18}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{n}+4^{n}+7}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7+4+7}{18}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {7^{k}+4^{k}+7}{18}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {7^{k+1}+4^{k+1}+7}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{k}*7+4^{k}*4+7}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{k}(6+1)+4^{k}*(3+1)+7}{18}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{k}+4^{k}+7}{18}}+{\frac {7^{k}*6+4^{k}*3}{18}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {3(7^{k}*2+4^{k})}{18}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {7^{k}*2+4^{k}}{6}}=\mathbb {Z} \\&\downarrow \\&p={\frac {7^{k}*2+4^{k}}{6}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. ביצוע הוכחה נוספת להוכחה כי $\ P$ הוא שלם.

הוכחה שנייה

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ k=1$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{k}*2+4^{k}}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7*2+4}{6}}=\mathbb {Z} \\&7=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ k=t$ טבעי

${\frac {7^{t}*2+4^{t}}{6}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=t+1

${\begin{aligned}&{\frac {7^{t+1}*2+4^{t+1}}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{t}*7*2+4^{t}*4}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*7^{t}(3+4)+4^{t}*4}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*7^{t}*4+4^{t}*4}{6}}+{\frac {2*7^{t}*3}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {4(2*7^{t}+4^{t})}{6}}+{\frac {7^{t}}{1}}=\mathbb {Z} \\&4*\mathbb {Z} +7^{t}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה השנייה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השלישית נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.